[國中]請教等差問題

[國中]請教等差問題

訪客 於 星期日 十一月 11, 2018 9:21 pm


從1 開始,寫出一組連續的正整數,然後擦去了一個數,其餘數的平均值為35又 7/17,試問擦去的數是什麼數? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D)9

訪客

 

鹿仁 於 星期一 十一月 12, 2018 5:28 pm


此等差數列為 1, 2, 3, ..., 69,擦去之數為 7。

鹿仁
訪客
 

[國中]請教過程,謝謝

訪客 於 星期一 十一月 12, 2018 11:36 pm


請教過程,謝謝

訪客

 

鹿仁 於 星期二 十一月 13, 2018 1:38 pm


因為這題是選擇題,所以我逐一檢驗每個選項的值。
可是我的解題過程中,類似的重複計算過多,花太多時間,一般考試不適用。

如果當成計算題,還有其他答案符合題意,例如:
等差數列為 1, 3, 5, 7, ..., 69,擦去之數為 21。

我還在想比較簡潔的計算題解法。

鹿仁
訪客
 

benice 於 星期三 十一月 14, 2018 8:44 am


將原題目改成計算題,敘述如下:

    從 1 開始,寫出一組連續的正整數等差數列,然後擦去一個數,其餘數的平均值為 35 又 7/17。
    試寫出此等差數列,並求出擦去的數。



解:

1.依題意列式:

設此等差數列的公差為 d,項數為 n,且令擦去的數為 x,則:

    (等差數列的和 - x)/(n-1) = 35 + 7/17


    {n[2 + (n-1)d]/2 - x}/(n-1) = 35 + 7/17 ............ (1)


    n[2 + (n-1)d]/2 - x = (35 + 7/17)(n-1)

    x = n[2 + (n-1)d]/2 - (35 + 7/17)(n-1) ............. (2)


因為 (35 + 7/17)(n-1)(= 等差數列的和 - x)為正整數,所以 n-1 為 17 的倍數

由於『零個數字的平均值為無意義』,所以 n-1 ≠ 0,因此 n-1 ≧ 17,故 n ≧ 18


2.求公差 d 的範圍:

由 (1) 式得

    n[1 + (n-1)d/2]/(n-1) = 35 + 7/17 + x/(n-1)

    n/(n-1) + nd/2 = 35 + 7/17 + x/(n-1)

    n/(n-1) + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + [1 + (n-1)d]/(n-1) ...... ∵ x ≦ 數列末項 = 1 + (n-1)d

    n/(n-1) + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + 1/(n-1) + d

    n/(n-1) - 1/(n-1) + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + d

    1 + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + d

    nd/2 ≦ 34 + 7/17 + d ................... (3)

    18d/2 ≦ 34 + 7/17 + d .................. ∵ n ≧ 18

    8d ≦ 34 + 7/17

    d ≦ (34 + 7/17)/8 = 4 + 41/136

    d ≦ 4


3.求項數 n 的可能值:

由 (3) 式得

    n ≦ 2(34 + 7/17)/d + 2

將 d = 1, 2, 3, 4 分別代入上式得:

    d = 1 時,n ≦ 2(34 + 7/17) + 2 = 70 + 14/17
    d = 2 時,n ≦ 2(34 + 7/17)/2 + 2 = 36 + 7/17
    d = 3 時,n ≦ 2(34 + 7/17)/3 + 2 = 24 + 16/17
    d = 4 時,n ≦ 2(34 + 7/17)/4 + 2 = 19 + 7/34

所以
    d = 1 時,n ≦ 70
    d = 2 時,n ≦ 36
    d = 3 時,n ≦ 24
    d = 4 時,n ≦ 19

由『n-1 為 17 的倍數』得

    n-1 = 17 or 34 or 51 or 68 or .....
    n = 18 or 35 or 52 or 69 or .....



    d = 1 時,n = 18 or 35 or 52 or 69
    d = 2 時,n = 18 or 35
    d = 3 時,n = 18
    d = 4 時,n = 18


4.求擦去的數 x:

  以下利用 (2) 式計算 x 值。

    d = 1,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = -431 (負數不合)

    d = 1,n = 35 時,x = 35[2 + (35-1)]/2 - (35 + 7/17)(35-1) = -574 (負數不合)

    d = 1,n = 52 時,x = 52[2 + (52-1)]/2 - (35 + 7/17)(52-1) = -428 (負數不合)

    d = 1,n = 69 時,x = 69[2 + (69-1)]/2 - (35 + 7/17)(69-1) = 7
    驗證:1 + (k-1)*1 = 7 ==> k = 7
            所以 x = 7 為數列的第 7 項,合乎所求


    d = 2,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)*2]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = -278 (負數不合)

    d = 2,n = 35 時,x = 35[2 + (35-1)*2]/2 - (35 + 7/17)(35-1) = 21
    驗證:1 + (k-1)*2 = 21 ==> k = 11
            所以 x = 21 為數列的第 11 項,合乎所求


    d = 3,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)*3]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = -125 (負數不合)


    d = 4,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)*4]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = 28
    驗證:1 + (k-1)*4 = 28 ==> k = 31/4
            所以 x = 28 非數列之項,不合


5.結論:

    等差數列為 1, 2, 3, ..., 69 (公差為 1,項數為 69),擦去的數為 7 (第 7 項)。

    等差數列為 1, 3, 5, 7, ..., 69 (公差為 2,項數為 35),擦去的數為 21 (第 11 項)。

benice
專 家
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文章: 269
註冊時間: 2010-02-08

lskuo 於 星期三 十一月 14, 2018 1:21 pm


benice 寫到:將原題目改成計算題,敘述如下:

    從 1 開始,寫出一組連續的正整數等差數列,然後擦去一個數,其餘數的平均值為 35 又 7/17。
    試寫出此等差數列,並求出擦去的數。



解:

1.依題意列式:

設此等差數列的公差為 d,項數為 n,且令擦去的數為 x,則:

    (等差數列的和 - x)/(n-1) = 35 + 7/17


    {n[2 + (n-1)d]/2 - x}/(n-1) = 35 + 7/17 ............ (1)


    n[2 + (n-1)d]/2 - x = (35 + 7/17)(n-1)

    x = n[2 + (n-1)d]/2 - (35 + 7/17)(n-1) ............. (2)


因為 (35 + 7/17)(n-1)(= 等差數列的和 - x)為正整數,所以 n-1 為 17 的倍數

由於『零個數字的平均值為無意義』,所以 n-1 ≠ 0,因此 n-1 ≧ 17,故 n ≧ 18


2.求公差 d 的範圍:

由 (1) 式得

    n[1 + (n-1)d/2]/(n-1) = 35 + 7/17 + x/(n-1)

    n/(n-1) + nd/2 = 35 + 7/17 + x/(n-1)

    n/(n-1) + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + [1 + (n-1)d]/(n-1) ...... ∵ x ≦ 數列末項 = 1 + (n-1)d

    n/(n-1) + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + 1/(n-1) + d

    n/(n-1) - 1/(n-1) + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + d

    1 + nd/2 ≦ 35 + 7/17 + d

    nd/2 ≦ 34 + 7/17 + d ................... (3)

    18d/2 ≦ 34 + 7/17 + d .................. ∵ n ≧ 18

    8d ≦ 34 + 7/17

    d ≦ (34 + 7/17)/8 = 4 + 41/136

    d ≦ 4


3.求項數 n 的可能值:

由 (3) 式得

    n ≦ 2(34 + 7/17)/d + 2

將 d = 1, 2, 3, 4 分別代入上式得:

    d = 1 時,n ≦ 2(34 + 7/17) + 2 = 70 + 14/17
    d = 2 時,n ≦ 2(34 + 7/17)/2 + 2 = 36 + 7/17
    d = 3 時,n ≦ 2(34 + 7/17)/3 + 2 = 24 + 16/17
    d = 4 時,n ≦ 2(34 + 7/17)/4 + 2 = 19 + 7/34

所以
    d = 1 時,n ≦ 70
    d = 2 時,n ≦ 36
    d = 3 時,n ≦ 24
    d = 4 時,n ≦ 19

由『n-1 為 17 的倍數』得

    n-1 = 17 or 34 or 51 or 68 or .....
    n = 18 or 35 or 52 or 69 or .....



    d = 1 時,n = 18 or 35 or 52 or 69
    d = 2 時,n = 18 or 35
    d = 3 時,n = 18
    d = 4 時,n = 18


4.求擦去的數 x:

  以下利用 (2) 式計算 x 值。

    d = 1,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = -431 (負數不合)

    d = 1,n = 35 時,x = 35[2 + (35-1)]/2 - (35 + 7/17)(35-1) = -574 (負數不合)

    d = 1,n = 52 時,x = 52[2 + (52-1)]/2 - (35 + 7/17)(52-1) = -428 (負數不合)

    d = 1,n = 69 時,x = 69[2 + (69-1)]/2 - (35 + 7/17)(69-1) = 7
    驗證:1 + (k-1)*1 = 7 ==> k = 7
            所以 x = 7 為數列的第 7 項,合乎所求


    d = 2,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)*2]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = -278 (負數不合)

    d = 2,n = 35 時,x = 35[2 + (35-1)*2]/2 - (35 + 7/17)(35-1) = 21
    驗證:1 + (k-1)*2 = 21 ==> k = 11
            所以 x = 21 為數列的第 11 項,合乎所求


    d = 3,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)*3]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = -125 (負數不合)


    d = 4,n = 18 時,x = 18[2 + (18-1)*4]/2 - (35 + 7/17)(18-1) = 28
    驗證:1 + (k-1)*4 = 28 ==> k = 31/4
            所以 x = 28 非數列之項,不合


5.結論:

    等差數列為 1, 2, 3, ..., 69 (公差為 1,項數為 69),擦去的數為 7 (第 7 項)。


    等差數列為 1, 3, 5, 7, ..., 69 (公差為 2,項數為 35),擦去的數為 21 (第 11 項)。


真是詳盡!如果能先知道平均的公式,也許可以免去一些試算。
只是,題目就說是連續的正整數,為什麽大家都還要算公差不等於1的數列呢?!!!

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lskuo
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註冊時間: 2010-11-10

[國中]詳盡,感謝

訪客 於 星期四 十一月 15, 2018 5:37 am


分析詳細,尤其計算部分,了解,感恩

訪客

 

[國中]。

周欣婷 於 星期二 三月 05, 2019 11:18 pm


已知一等差數列首項為-40,公差為3/4。試問:
1.若前n項和為正數,則n最小值為何?
2.若前m項的和負數,則m的最大值為何?
(急需幫忙)

周欣婷
訪客
 






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