[國中]請教數學問題

[國中]請教數學問題

t4906081 於 星期二 十月 23, 2018 1:07 am


請教數學問題、謝謝您的幫忙,謝謝


(1) 設  ---> 我打不出來
M = p2 + p6q2 + p3 − 2(20182 − 2018 × 2017 + 20172),
則下列敘述何者為真? (A) M <0> 1 (C) M = 0.

需敘明理由。

(2) 設x2 + y2  2. 則|x2 − 2xy − y2| 的最大值為何?
(3) 使得x2 + x − 2 是一個整數的平方的整數x 共有幾個?
(4) [x] 表示不大於x 的最大整數。試問: 方程式
x2 − 8[x] + 7 = 0
的所有實數解的個數是幾個?
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t4906081
訪客
 

benice 於 星期三 十月 24, 2018 8:19 pm


幫解一題:

(4)

設實數 x 滿足 x² - 8[x] + 7 = 0,

        8[x] = x² + 7 ................ (*)

因為 [x] 為不大於 x 的最大整數,
所以
        x - 1 < [x] ≦ x。

由 (*) 得 [x] = (x² + 7)/8,代入以上不等式,

        x - 1 < (x² + 7)/8 ≦ x。

解以上不等式:
8x - 8 < x² + 7 ≦ 8x
8x - 8 < x² + 7  且  x² + 7 ≦ 8x
x² - 8x + 15 > 0  且  x² - 8x + 7 ≦ 0
(x - 5)(x - 3) > 0  且  (x - 7)(x - 1) ≦ 0
( x > 5  或  x < 3 )  且  1 ≦ x ≦ 7
1 ≦ x < 3  或  5 < x ≦ 7 ................ (**)

所以
1 ≦ x² < 9  或  25 < x² ≦ 49
8 ≦ x² + 7 < 16  或  32 < x² + 7 ≦ 56

由 (*) 知 x² + 7 為 8 的倍數,所以由上式得
x² + 7 = 8, 40, 48, 56
x² = 1, 33, 41, 49
x = 1, √33, √41, 7 〔-1, -√33, -√41, -7 皆不符合 (**)〕

故方程式 x² - 8[x] + 7 = 0 共有 4 個實數解。 ■


附圖:

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上圖中,a = √33,b = √41,函數 f(x) = x² - 8[x] + 7。

benice
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benice 於 星期三 十月 24, 2018 11:53 pm


第 (4) 題如果將原題目的敘述

        [x] 表示不於 x 的最整數

改成

        [x] 表示不於 x 的最整數,

則方程式的實數解個數仍然為 4 個,
但是解變成 x = 1, 7, √57, √65。


附圖:

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上圖中,a = √57,b = √65。

benice
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Re: [國中]請教數學問題

lskuo 於 星期四 十月 25, 2018 12:21 am


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Re: [國中]請教數學問題

lskuo 於 星期四 十月 25, 2018 11:26 pm


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