[大學]求解一題線代問題

[大學]求解一題線代問題

訪客 於 星期六 六月 16, 2018 7:01 pm


設{x,1}是U在二次多項式內的基底
並定義

=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(2)q(2)     
其中< , >為內積符號
請找出U的正交補餘(orthogonal complement)的基底

一直不知道該如何下手啊....求大神指點


訪客

 

berry 於 星期六 六月 16, 2018 7:04 pm


那個..這是我問的問題
第一次使用該網站
好像忘記登入了
等號前面少打一個東西是< p , q >
還請各位指教了

berry
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benice 於 星期日 六月 17, 2018 12:26 pm



解法一:

此題可將二次多項式空間類比為 R³,並將 1, x, x² 視為空間向量 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1),
則 U 相當於 X-Y 平面,U 的正交補餘相當於 Z 軸。因此 {x²} 為 U 的正交補餘的一個基底。


解法二:

設 a + bx + cx² 為 U 的正交補餘中的任意向量,

    <a + bx + cx², 1> = 0 且 <a + bx + cx², x> = 0。

依題目所給的內積定義
    <a + bx + cx², 1> = a*1 + b*0 + c*0 = a,
    <a + bx + cx², x> = a*0 + b*1 + c*0 = b,

所以 a = 0 且 b = 0。

故 U 的正交補餘包含於 {cx²∣c 為任意實數}。


由於子空間的正交補餘也是子空間,所以 U 的正交補餘 = {0} 或 {cx²∣c 為任意實數}。

因為 U 的正交補餘的維度 = 二次多項式空間的維度 - U 的維度 = 3 - 2 = 1,
所以 U 的正交補餘 = {cx²∣c 為任意實數}。

因此 {x²} 為 U 的正交補餘的一個基底。 ■

紅字部分請參考線代教科書上的相關定理,例如:
Linear Algebra, 3e (Serge Lang, 1987, corrected printing 2004) --- Theorem 2.3 (p.106)


benice
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