[高中] 高次方程求解

[高中] 高次方程求解

mo 於 星期一 十二月 04, 2017 10:18 pm


k為整數 已知x^5-4x^3+(k+2)X^2+(k+3)x+4=0 洽有一個有理根,求k?       謝謝各位老師幫忙      答案62

mo
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benice 於 星期二 十二月 05, 2017 11:42 am


解:

令 f(x) = x^5 - 4x^3 + (k+2)x^2 + (k+3)x + 4

4 的因數有 ±1, ±2, ±4

f(1) = 1 - 4 + (k+2) + (k+3) + 4 = 2k + 6 = 2(k + 3)

f(-1) = -1 + 4 + (k+2) - (k+3) + 4 = 6

f(2) = 32 - 4*8 + (k+2)*4 + (k+3)*2 + 4 = 6k + 18 = 6(k + 3)

f(-2) = -32 + 4*8 + (k+2)*4 - (k+3)*2 + 4 = 2k + 6 = 2(k + 3)

f(4) = 1024 - 4*64 + (k+2)*16 + (k+3)*4 + 4 = 20k + 816 = 4(5k + 204)

f(-4) = -1024 + 4*64 + (k+2)*16 - (k+3)*4 + 4 = 12k - 744 = 12(k - 62)

由因式定理知,k = 62 時,恰有一個有理根 -4。■


註:

其他使得 f(x) = 0 有有理根,但不合題意的 k 值:

k = -3 時,有三個有理根 1, ±2。

k = -204/5 = -40.8 時,恰有一個有理根 4。

benice
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lskuo 於 星期二 十二月 05, 2017 10:33 pm


benice 寫到:解:

令 f(x) = x^5 - 4x^3 + (k+2)x^2 + (k+3)x + 4

4 的因數有 ±1, ±2, ±4

f(1) = 1 - 4 + (k+2) + (k+3) + 4 = 2k + 6 = 2(k + 3)

f(-1) = -1 + 4 + (k+2) - (k+3) + 4 = 6

f(2) = 32 - 4*8 + (k+2)*4 + (k+3)*2 + 4 = 6k + 18 = 6(k + 3)

f(-2) = -32 + 4*8 + (k+2)*4 - (k+3)*2 + 4 = 2k + 6 = 2(k + 3)

f(4) = 1024 - 4*64 + (k+2)*16 + (k+3)*4 + 4 = 20k + 816 = 4(5k + 204)

f(-4) = -1024 + 4*64 + (k+2)*16 - (k+3)*4 + 4 = 12k - 744 = 12(k - 62)

由因式定理知,k = 62 時,恰有一個有理根 -4。■


註:

其他使得 f(x) = 0 有有理根,但不合題意的 k 值:

k = -3 時,有三個有理根 1, ±2。

k = -204/5 = -40.8 時,恰有一個有理根 4。


感覺是在找整數解,而且不懂因式定理如何確認題目中“洽”  的條件?不知能不能再說明一下?謝謝啦!

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Re: [高中] 高次方程求解

lskuo 於 星期三 十二月 06, 2017 1:53 pm


mo 寫到:k為整數 已知x^5-4x^3+(k+2)X^2+(k+3)x+4=0 洽有一個有理根,求k?       謝謝各位老師幫忙      答案62

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lskuo
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benice 於 星期三 十二月 06, 2017 2:04 pm


lskuo 寫到:
感覺是在找整數解,而且不懂因式定理如何確認題目中“洽” 的條件?不知能不能再說明一下?謝謝啦!

因為領導係數為 1,所以有理根只可能為整數。
我把過程寫清楚一點:

---------------------------------------------------------------------------------------------
有理根檢查法 (全名:整係數多項式方程式的有理根檢查法)
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 是 n 次整係數多項式,
若 b/a 為 f(x) = 0 的有理根 (其中 a 與 b 是互質的整數),
則 a | an 且 b | a0。 (an 為領導係數或首項係數,a0 為常數項)
---------------------------------------------------------------------------------------------

解:

令 f(x) = x^5 - 4x^3 + (k+2)x^2 + (k+3)x + 4,則
f(x) 的常數項 4 的正因數有 1, 2, 4;
領導係數 1 的正因數只有 1。

由有理根檢查法知
f(x) = 0 可能的有理根為:
±1/1, ±2/1, ±4/1,即 ±1, ±2, ±4。

以下利用因式定理來檢驗這些可能的有理根:
f(1) = 1 - 4 + (k+2) + (k+3) + 4 = 2k + 6 = 2(k + 3)
f(-1) = -1 + 4 + (k+2) - (k+3) + 4 = 6
f(2) = 32 - 4*8 + (k+2)*4 + (k+3)*2 + 4 = 6k + 18 = 6(k + 3)
f(-2) = -32 + 4*8 + (k+2)*4 - (k+3)*2 + 4 = 2k + 6 = 2(k + 3)
f(4) = 1024 - 4*64 + (k+2)*16 + (k+3)*4 + 4 = 20k + 816 = 4(5k + 204)
f(-4) = -1024 + 4*64 + (k+2)*16 - (k+3)*4 + 4 = 12k - 744 = 12(k - 62)

比較以上六個計算結果,得知:
(1) k = 62 時,f(-4) = 0,其餘五個可能有理根的函數值皆不為 0,
     也就是說,k = 62 時,恰有一個有理根 -4。
(2) k = -204/5 時,f(4) = 0,其餘五個可能有理根的函數值皆不為 0,
     也就是說,k = -204/5 時,恰有一個有理根 4,但 -204/5 不是整數。
(3) k = -3 時,f(1), f(2), f(-2) 為 0,其餘三個可能有理根的函數值皆不為 0,
     所以,k = -3 時,有三個有理根 1, ±2。

以上只有 (1) 的結果合於題意,因此 k = 62。 ■

benice
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lskuo 於 星期三 十二月 06, 2017 2:17 pm


benice 寫到:
lskuo 寫到:
感覺是在找整數解,而且不懂因式定理如何確認題目中“洽” 的條件?不知能不能再說明一下?謝謝啦!

因為領導係數為 1,所以有理根只可能為整數。
我把過程寫清楚一點:

---------------------------------------------------------------------------------------------
有理根檢查法 (全名:整係數多項式方程式的有理根檢查法)
f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 是 n 次整係數多項式,
若 b/a 為 f(x) = 0 的有理根 (其中 a 與 b 是互質的整數),
則 a | an 且 b | a0。 (an 為領導係數或首項係數,a0 為常數項)
---------------------------------------------------------------------------------------------



不記得高中有教過這個有理根檢查法,害我多繞一點路。真是太好了!謝謝!

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