[空間] 空間點距離

[空間] 空間點距離

MO 於 星期四 十一月 30, 2017 8:38 pm


空間中兩點A(0,-7,1), B(3,2,2)在X軸上找一點P,使三角形PAB,周長最小
則P點作標為?

MO
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benice 於 星期六 十二月 02, 2017 7:32 am


用微分可以算。

benice
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benice 於 星期六 十二月 02, 2017 8:48 am


不用微分的解法:

設 P 點座標為 (t, 0, 0),則三角形 PAB 周長為
d(P,A) + d(P,B) + d(A,B)
= √[(t - 0)² + (0 - (-7))² + (0 - 1)²] + √[(t - 3)² + (0 - 2)² + (0 - 2)²] + d(A,B)
= √(t² + 50) + √[(t - 3)² + 8] + d(A,B)

√(t² + 50) + √[(t - 3)² + 8]
= √[(t - 0)² + (0 - √50)²] + √[(t - 3)² + (0 + √8)²]
= √[(t - 0)² + (0 - 5√2)²] + √[(t - 3)² + (0 + 2√2)²]
= x-y 平面上的點 (t, 0) 分別到 (0, 5√2) 與 (3, -2√2) 的距離之和 (請看附註)

當 (t, 0), (0, 5√2), (3, -2√2) 三點共線時,以上距離之和為最小,
所以
(t - 0) / (0 - 5√2) = (0 - 3) / (5√2 + 2√2)
t / (5√2) = 3 / (7√2)
t = 15/7

因此 P 點座標為 (15/7, 0, 0)。■


附註:

√(t² + 50) + √[(t - 3)² + 8] 可以視為以下任何一項
(1) x-y 平面上的點 (t, 0) 分別到 (0, 5√2) 與 (3, 2√2) 的距離之和
(2) x-y 平面上的點 (t, 0) 分別到 (0, 5√2) 與 (3, -2√2) 的距離之和
(3) x-y 平面上的點 (t, 0) 分別到 (0, -5√2) 與 (3, 2√2) 的距離之和
(4) x-y 平面上的點 (t, 0) 分別到 (0, -5√2) 與 (3, -2√2) 的距離之和

三點共線時,
在 (2), (3) 中,(t, 0) 可位於其他兩點的連線段之間;
在 (1), (4) 中,(t, 0) 只能位於其他兩點的連線段延伸線。
所以只有 (2), (3) 適用於求解。

使用 (1), (4) 會解得 t = 5,此值在用微分解法時也會出現,為不合的方程式解。

benice
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