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mathjack · 由 **mathjack** 於星期四十一月 02, 2017 9:33 pm

請問解法?答案如上:

mathjack · 由 **mathjack** 於星期二十一月 07, 2017 11:22 am

感恩！我自己想到解法了，解法如下：

image file name: 2k93d1f28f3b.jpg

eaglle · 由 **eaglle** 於星期四一月 18, 2018 2:13 pm

這樣疊無限個根號2上去, 不會變成無限大嗎?

lskuo · 由 **lskuo** 於星期四一月 18, 2018 11:53 pm

eaglle 寫到:這樣疊無限個根號2上去, 不會變成無限大嗎?

eaglle · 由 **eaglle** 於星期六一月 20, 2018 12:13 pm

我也是懷疑原Po問題無解
不過, 遞迴關式好像不是 $f_{n+1}=f_n^{x}$

而應該是 $f_{n+1}=x^{f_n}$

不知道我有沒有弄錯?

lskuo · 由 **lskuo** 於星期六一月 20, 2018 12:57 pm

eaglle 寫到:我也是懷疑原Po問題無解
不過, 遞迴關式好像不是 $f_{n+1}=f_n^{x}$

而應該是 $f_{n+1}=x^{f_n}$

不知道我有沒有弄錯?

此題特性都可以，試寫幾項驗證看看。

eaglle · 由 **eaglle** 於星期六一月 20, 2018 1:27 pm

照你的遞迴式, 會得到
$(((x^{x})^{x})^{x})^{...}=\lim_{n\rightarrow \infty}x^{(x^{n})}$
和原po的題目不一樣

lskuo · 由 **lskuo** 於星期六一月 20, 2018 1:39 pm

eaglle 寫到:照你的遞迴式, 會得到
$(((x^{x})^{x})^{x})^{...}=\lim_{n\rightarrow \infty}x^{(x^{n})}$
和原po的題目不一樣

嗯，你是對的，我錯了！
有空我再修正，或者大大也可po正確的版本！

eaglle · 由 **eaglle** 於星期六一月 20, 2018 1:47 pm

我就是不會証明它發散, 也有點懷疑, 莫非它真的收歛?
所以才在這裡提出

lskuo · 由 **lskuo** 於星期一一月 22, 2018 7:20 am

[quote="eaglle"]我就是不會証明它發散, 也有點懷疑, 莫非它真的收歛?
所以才在這裡提出[/quote

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eaglle · 由 **eaglle** 於星期三一月 24, 2018 10:50 am

從第7式要推出g不能趨近於0, 也許有誤: g 趨近於0, ln g 趨近於負無限大, 還是有可能 g lng維持定值

假定原式收歛, 令其為a, 則 $x=a^{1/a}$

把x看做a的函數, 可知其最大值發生在a=e, 也就是 $x\leq e^{1/e}$

而 $e^{1/e}\leq 3^{1/2}=\sqrt[]{3}$

所以, 在收歛的假設下, x不可能是任何正值, 它必須小於根號3,
所以, x=2, $2^{2^{2....}}$ 明顯不收歛

lskuo · 由 **lskuo** 於星期三一月 24, 2018 1:12 pm

eaglle 寫到:從第7式要推出g不能趨近於0, 也許有誤: g 趨近於0, ln g 趨近於負無限大, 還是有可能 g lng維持定值

假定原式收歛, 令其為a, 則 $x=a^{1/a}$

把x看做a的函數, 可知其最大值發生在a=e, 也就是 $x\leq e^{1/e}$

而 $e^{1/e}\leq 3^{1/2}=\sqrt[]{3}$

所以, 在收歛的假設下, x不可能是任何正值, 它必須小於根號3,
所以, x=2, $2^{2^{2....}}$ 明顯不收歛

所言極是。一種最簡單的修正方式，是假設a 不等於0時，可推論 x的上限。
若a=0, 自然f_n 無上限發散。

我的錯誤在於 lim g_n ln g_{n+1}, 畢竟差一項。若是 g_n ln g_n, 則 g_n 趨近於0時，由 L’Hôpital’s Rule, 極限值當是0。其實在做此推論時，是有一些心虛，但以為差一項沒關係，也沒再確認各種x的情況，被智者一眼看破，感謝指正。

不過，函數 f(x)=x^(1/x) 有最大值，表示給定函數值b=f(x), 可能有兩個解，但要如何保證原po x^(x^(x... 只會指向其中一個解，看來原po衍生出的問題還蠻有趣的。

eaglle · 由 **eaglle** 於星期四一月 25, 2018 5:41 pm

你提的是好問題, 但我還在煩惱: 是不是只要 $x\leq e^{1/e}$
原式就一定收歛?

eaglle · 由 **eaglle** 於星期日一月 28, 2018 2:25 pm

我已經証明了: 只要 $x\leq e^{1/e}$ , 原式就收歛, 而收歛的值 $y\leq e$
反之, 任給一正數y, 恒有 $x=y^{1/y}$ , 但這個x代回原式, 卻不一定是這個y, 而可能是滿足 $x=y^{1/y}$ 的另一個比e小的y

証明有點複雜, 改天再想辦法po上來

lskuo · 由 **lskuo** 於星期日一月 28, 2018 7:32 pm

eaglle 寫到:我已經証明了: 只要 $x\leq e^{1/e}$ , 原式就收歛, 而收歛的值 $y\leq e$
反之, 任給一正數y, 恒有 $x=y^{1/y}$ , 但這個x代回原式, 卻不一定是這個y, 而可能是滿足 $x=y^{1/y}$ 的另一個比e小的y

証明有點複雜, 改天再想辦法po上來

我好像也找到證明，還請指正。
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eaglle · 由 **eaglle** 於星期二一月 30, 2018 5:03 pm

我前一貼文有錯: x>e^(1/e)會發散這是確定的
但當0<x<1時, 並非都收歛, 當x很接近0時, 可能發散, 但細節我還沒有完全弄明白
再研究中

lskuo · 由 **lskuo** 於星期四二月 01, 2018 4:39 pm

eaglle 寫到:我前一貼文有錯: x>e^(1/e)會發散這是確定的
但當0<x<1時, 並非都收歛, 當x很接近0時, 可能發散, 但細節我還沒有完全弄明白
再研究中

這次的證明應該算是可以了！
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