[國小]公因數

[國小]公因數

where 於 星期一 九月 18, 2017 2:34 pm


有4個自然數,它們的和是1111,求這4個數的公因數最大值是多少?

where
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rabbitfate 於 星期一 九月 18, 2017 7:50 pm


這個看起來棘手但是想通就沒啥
假設四數為A,B,C,D

1111 的質因數分解 是 11 x 101

所以最大公因數只有兩種可能 - 11的倍數 或是101的倍數
這有點像雞兔同籠 給頭分配腳腳的概念

首先 看大的101
也就是有11個101可以分 所以最大公因數最多只能分到2個101 也就是202

再來看 11
我們有 101個11可以分
最多可以分25個11
25 x 11=275

275比202大 所以 最大公因數就是275嚕

恩  我想歪了~~沒辦法分-所以只能101 ~冏

rabbitfate
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where 於 星期二 九月 19, 2017 10:55 am


試著把題目的數字改小,重推一次。
請問大大,是否正確?

小疑問:四個自然數,沒規定相異,就可允許相同數字出現的情況?



《2個自然數A+B篇》
第1題:2個自然數A+B,和=14
解答:
14=1*14=2*7
Ⅰ就1*14情況來討論
A+B=(1*7)+(1*7)
(A,B)=1*7=7

A+B=(14*1)無法討論下去

Ⅱ就2*7情況來討論
A+B=(2*4)+(2*3)
(A,B)=2*3=6

A+B=(7*1)+(7*1)
(A,B)=7*1=7

第2題:2個自然數A+B,和=21
解答:
21=1*21=3*7
Ⅰ就1*21情況來討論
A+B=(1*11)+(1*10)
(A,B)=1*10=10→無法討論,(11,10)=1

A+B=(21*1)無法討論下去

Ⅱ就3*7情況來討論
A+B=(3*4)+(3*3)
(A,B)=3*3=9

A+B=(7*2)+(7*1)
(A,B)=7*1=7

《3個自然數A+B+C篇》
第1題:3個自然數A+B+C,和=14
解答:
14=1*14=2*7

Ⅱ就2*7情況來討論
A+B+C=(2*3)+(2*2)+(2*2)
(A,B,C)=2*2=4

A+B+C=(7*1)+(7*1)
無法討論


第2題:3個自然數A+B+C,和=24
24=1*24=2*12=3*8=4*6

Ⅰ就2*12情況來討論
A+B+C=(2*4)+(2*4)+(2*4)
(A,B,C)=2*4=8

A+B+C=(12*1)+(12*1)→無法討論

Ⅱ就3*8情況來討論
A+B+C=(3*3)+(3*2)+(3*2)
(A,B,C)=3*2=6

A+B+C=(8*1)+(8*1)+(8*1)
(A,B,C)=8*1=8


Ⅲ就4*6情況來討論
A+B+C=(4*2)+(4*2)+(4*2)
(A,B,C)=4*2=8

A+B+C=(6*2)+(6*1)+(6*1)
(A,B,C)=6*1=6

where
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Re: [國小]公因數

lskuo 於 星期五 九月 22, 2017 9:33 pm


where 寫到:有4個自然數,它們的和是1111,求這4個數的公因數最大值是多少?


看不懂為什麼大家解得這麼複雜?
既然 1111 = 11 x 101

這4個數的公因數不就只有 1, 11, 101 三種可能嗎? 怎麼會有其它值?

最大101, 所以A=101a, B=101b, C=101c, D=101d

A+B+C+D=101(a+b+c+d)

a+b+c+d =11, 有正整數解,這樣不就解決了嗎?
(因為11是質數,所以a,b,c,d四數一定互質)


如果說四個數加起來是 101x3,那101就不可是最大公因數,因為 a+b+c+d=3 沒有正整數解。那公因數可能是3或1。最大公因數是3, 因為 a+b+c+d=101 可有正整數解,且(a,b,c,d)=1。

注意的是,是四個數的最大公因數,不是兩兩數字的最大公因數!

搞不懂國小的題目,會出題到討論一大串!

Let(A,B,C,D)=e, and A=ae, B=be, C=ce, and D=de
then (a,b,c,d)=1
e(a+b+c+d) = 1101 = 11x101

So e can be 1, 11, or 101.

lskuo
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where 於 星期四 九月 28, 2017 3:12 pm


解答:101

解答過程,也是導出101。

進入叢林之中,難免會感到迷惑。



跳出之後,才會有所領悟。

自己將101*2,101*2,101*2,101*3。四個數。

用短除法來驗算,能提出來的也是101而已。

仍感謝眾位大大的解題。錯了,才知道不足。

衷心感謝!

where
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國小數學問題