[高中] 三角函數證明題

[高中] 三角函數證明題

shmilyho 於 星期五 七月 21, 2017 4:33 pm


三角形ABC中,若∠B=2∠C,試證明b^2=c(a+c)。

shmilyho
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rabbitfate 於 星期六 七月 22, 2017 2:21 pm


這個應該不難~只是正弦跟和角公式 應用
由正弦定理
a= 2R sin a
b= 2R sin b
c= 2R sin c

我們要證明  b b = c (a+c)  
就代進去~先看右邊會等於

2R sin c (2R sin a+2R sin c ) = (2R) 2R sin c (sin a + sin c)  ---------(1)

由和角公式

sin a + sin c = 2 sin [ (a+c)/2 ]  cos[ (a-c)/2]

又角a=180-3角c~~~~所以
sin [ (a+c)/2 ] = sin [90-c]=cos c
cos [ (a-c) /2 ] = cos [90-2c] = cos[90-b]=sin b
所以 sin a + sin c  =2cos c  sin b  代回 (1)
我們目標是弄到sin b 已經有一個了
然後 帶回去出來 的 2 sin c cos c 又等於 sin (c+c) =sin b
所以都解決了
  
b b = c (a+c)

rabbitfate
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danny 於 星期二 七月 25, 2017 3:44 am


令角B角平分線交AC於D
AD:AC=c:(a+c) (內分比)
CD=ba/(a+c)
現做角ADB角平分線交AB於E
DE//BC 因角EDB=角DBC(內錯角相等)
AD:AC=DE:CB得DE=ac/(a+c)
DEB~CDB
CD:CB=DE:DB (CD=DB 等腰)
CD^2=CB*DE
b^2*a^2/(a+c)^2=a*ac/(a+c)
b^2=c(a+c)

danny
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