[高中]2-3多項式方程式

[高中]2-3多項式方程式

訪客 於 星期五 十一月 18, 2016 10:32 pm


求係數複方程式z^2-2(1+I)z-5-10i=0 z解為?
求計算過程答為4+3i   -2-i

訪客

 

benice 於 星期六 十一月 19, 2016 9:51 am



z² - 2(1 + i)z - 5 - 10i = 0
z² - 2(1 + i)z - (5 + 10i) = 0

由二次方程式的公式解,得
z
= {2(1 + i) ± √[4(1 + i)² + 4(5 + 10i)]} / 2
= (1 + i) ± √[(1 + i)² + (5 + 10i)]
= (1 + i) ± √[2i + 5 + 10i]
= (1 + i) ± √[5 + 12i]
= (1 + i) ± √[3² + 2*3*2i + (2i)²]
= (1 + i) ± √[(3 + 2i)²]
= (1 + i) ± (3 + 2i)
= (1 + i) + (3 + 2i)  或  (1 + i) - (3 + 2i)
= 4 + 3i  或  -2 - i ■



或者直接用配方法:
z² - 2(1 + i)z - 5 - 10i = 0
z² - 2(1 + i)z + (1 + i)² = 5 + 10i + (1 + i)²
[z - (1 + i)]² = 5 + 10i + 2i
[z - (1 + i)]² = 5 + 12i
[z - (1 + i)]² = 3² + 2*3*2i + (2i)²
[z - (1 + i)]² = (3 + 2i)²
z - (1 + i) = ±(3 + 2i)
z = 1 + i ± (3 + 2i) = 4 + 3i  或  -2 - i ■

benice
專 家
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文章: 260
註冊時間: 2010-02-08

benice 於 星期六 十一月 19, 2016 11:48 am



(另解)

註:
1. 此方法計算較繁雜,僅供參考。
2. 當無法求出正確解時(例如高次多項式方程式),可利用此方法繪圖得到近似解。

令 z = x + yi, x, y 為實數。


(x + yi)² - 2(1 + i)(x + yi) - 5 - 10i = 0
(x² - y² + 2xyi) - 2[x - y + (x + y)i] - 5 - 10i = 0
(x² - y² - 2x + 2y - 5) + 2(xy - x - y - 5)i = 0

所以

│x² - y² - 2x + 2y - 5 = 0
│xy - x - y - 5 = 0    (請參考下面的圖形)


配方得

│(x² - 2x + 1) - (y² - 2y + 1) - 5 = 0
│(x - 1)(y - 1) - 6 = 0


│(x - 1)² - (y - 1)² = 5
│(x - 1)(y - 1) = 6



a = x - 1
b = y - 1


│a² - b² = 5 ...... (1)
│ab = 6 ...... (2)


由 (2) 得
b = 6/a ...... (3)

將 (3) 代入 (1) 得
a² - (6/a)² = 5
(a²)² - 5a² - 36 = 0
(a² - 9)(a² + 4) = 0
a² = 9
a = ±3

將 a = ±3 代入 (3) 得
b = ±2

所以
x = a + 1 = (3 + 1) 或 (-3 +1) = 4 或 -2
y = b + 1 = (2 + 1) 或 (-2 +1) = 3 或 -1

因此,原方程式的解為 4 + 3i  或  -2 - i。 ■


參考圖:

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

benice
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