[問題]級數問題

[問題]級數問題

愛數者 於 星期五 十一月 11, 2016 12:39 am


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請教詳解說明 謝謝

愛數者
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benice 於 星期一 十一月 14, 2016 10:05 pm



設原方程式的四根為 a - 3d, a - d, a + d, a + 3d,其中 d≧0。

[x - (a - 3d)][x - (a - d)][x - (a + d)][x - (a + 3d)] = 0 ...... (1)

將 (1) 展開後的 x³ 項係數與原方程式比較得
(a - 3d) + (a - d) + (a + d) + (a + 3d) = 4
所以,a = 1

將 (1) 展開後的 x² 項係數與原方程式比較得
(a - 3d)(a - d) + (a - 3d)(a + d) + (a - 3d)(a + 3d) + (a - d)(a + d) + (a - d)(a + 3d) + (a + d)(a + 3d) = -34
(a - 3d)[(a - d) + (a + d) + (a + 3d)] + a² - d² + (a + 3d)[(a - d) + (a + d)] = -34
(a - 3d)(3a + 3d) + a² - d² + (a + 3d)(2a) = -34
3(a² - 2ad - 3d²) + a² - d² + 2a² + 6ad = -34
6a² - 10d² = -34
6 - 10d² = -34   (代入 a = 1)
10d² = 40
d² = 4
所以,d = 2

將 a = 1, d = 2 代入 (1) 得
(x + 5)(x + 1)(x - 3)(x - 7) = 0 ...... (2)

將 (2) 展開後的 x 項係數及常數項係數與原方程式比較得
b = (5)(1)(-3) + (5)(1)(-7) + (5)(-3)(-7) + (1)(-3)(-7) = -15 - 35 + 105 + 21 = 76
c = (5)(1)(-3)(-7) = 105

c - b = 105 - 76 = 29 ■

benice
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註冊時間: 2010-02-08

benice 於 星期二 十一月 15, 2016 9:03 am



另解:

先將原方程式水平平移,以得到不含 x³ 項的新方程式。

令 g(x) = (x+1)^4 - 4(x+1)³ - 34(x+1)² + b(x+1) + c。

因為原方程式的四個根成等差數列,
而等差數列的各項等量平移後依然為等差數列,
所以新方程式 g(x) = 0 的四個根也成等差數列。

將 g(x) 展開後,再依 x 降冪排列可得 (註:可用『綜合除法』計算)
g(x) = x^4 - 40x² + (b - 76)x + (b + c - 37)。

當 b - 76 = 0 時,y = g(x) 的圖形對稱於 y 軸,
此時 g(x) = 0 的四個根才有可能成為等差數列。
因此 b = 76
g(x) = (x²)² - 40x² + (c + 39)。

解 g(x) = 0 得
x² = [40 ± √(40² - 4(c + 39))] / 2   (二次方程式的公式解)
x² = 20 ± √(361 - c)
x = ±√(20 ± √(361 - c))   (註:c 須滿足 -39 < c < 361)

所以,g(x) = 0 的四個根由小而大依序為
-√(20 + √(361 - c)), -√(20 - √(361 - c)), √(20 - √(361 - c)), √(20 + √(361 - c))

上列的第三根為第二根與第四根的等差中項,因此
√(20 + √(361 - c)) - √(20 - √(361 - c)) = 2 √(20 - √(361 - c))
√(20 + √(361 - c)) = 3 √(20 - √(361 - c))
20 + √(361 - c) = 9[20 - √(361 - c)]
√(361 - c) = 16
361 - c = 16²
c = 105

故 c - b = 105 - 76 = 29。 ■


參考圖形:

下列圖形中,g(x) = x^4 - 40x² + (b - 76)x + (b + c - 37)。


(圖 1-1)  y = g(x) 參數 b 動畫 (c = 105)
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(圖 1-2)  y = g(x) 參數 b 動畫 (c = 200)
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(圖 1-3)  y = g(x) 參數 b 動畫 (c = 25)
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(圖 2)  y = g(x) 參數 c 動畫 (b = 76)
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benice
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