[高中]題目_高一題目_ 臺灣大學辦理 105學年度高中物理科學人才培育招生  

[高中]題目_高一題目_ 臺灣大學辦理 105學年度高中物理科學人才培育招生  

mathjack 於 星期二 十月 25, 2016 11:07 pm


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mathjack
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benice 於 星期三 十月 26, 2016 6:00 pm



因為三個大圓的圓心距 1+2, 1+3, 2+3 滿足 (1+2)² + (1+3)² = (2+3)²,
恰好為直角三角形的三邊,所以可以將圖形適當旋轉,得到以下圖形:

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

設上圖中小圓的圓心在 (x,y),半徑為 r,則
(x - 0)² + (y - 0)² = (1 + r)²
(x - 4)² + (y - 0)² = (3 + r)²
(x - 0)² + (y - 3)² = (2 + r)²


x² + y² = (1 + r)² ...... (1)
(x - 4)² + y² = (3 + r)² ...... (2)
x² + (y - 3)² = (2 + r)² ...... (3)

(2) - (1) 得
(x - 4)² - x² = (3 + r)² - (1 + r)²
(2x - 4)(-4) = (2r + 4)(2)    ( By 平方差公式 a² - b² = (a + b)(a - b) )
(4 - 2x)(4) = (r + 2)(4)
4 - 2x  = r + 2
2x = 2 - r
x = 1 - r/2 ...... (4)

(3) - (1) 得
(y - 3)² - y² = (2 + r)² - (1 + r)²
(2y - 3)(-3) = (2r + 3)(1)
6y - 9 = -2r - 3
6y = 6 - 2r
y = 1 - r/3 ...... (5)

將 (4), (5) 代入 (1) 得
(1 - r/2)² + (1 - r/3)² = (1 + r)²
r²/4 - r + 1 + r²/9 - 2r/3 + 1 = r² + 2r + 1
r²/4 + 1 + r²/9 - 2r/3 = r² + 3r
9r² + 36 + 4r² - 24r = 36r² + 108r    ( 上式同乘 36 )
23r² + 132r - 36 = 0
(r + 6)(23r - 6) = 0
r = 6/23 (Ans.) 或 r = -6 (負根不合)

r = 6/23 代入 (4), (5) 得
x = 1 - 3/23 = 20/23
y = 1 - 2/23 = 21/23 ■

benice
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benice 於 星期三 十月 26, 2016 6:32 pm



(補充) 樓上解題過程中 r = -6 的幾何意義。

將 r = -6 代入 (4), (5) 得
x = 1 + 6/2 = 4
y = 1 + 6/3 = 3
此為同時與三個大圓互相內切之更大圓的圓心,請參考下圖。

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

benice
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[高中]題目_高一題目_ 臺灣大學辦理 105學年度高中物理科學人才培育招生  

mathjack 於 星期三 十月 26, 2016 9:25 pm


謝謝回答,今天早上我也解出來了,我已掃瞄,因圖檔太大,只好放在網路上
等會兒,我在po 文
thank you , 你真棒!

mathjack
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[高中]題目_高一題目_ 臺灣大學辦理 105學年度高中物理科學人才培育招生  

mathjack 於 星期三 十月 26, 2016 9:52 pm


以下題目,很漂亮,可惜沒提供答案,我已做完104年以前高2題目,題目供大家參考

國立臺灣大學辦理105學年度
高中物理科學人才培育招生簡章及考古題: 
http://140.112.161.70/105phy/oldref.aspx

mathjack
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