[國中]求救公切線

[國中]求救公切線

訪客 於 星期六 十月 08, 2016 1:07 pm


兩個圓,半徑5和3,連心線長10,兩條內公切線與一條外公切線所圍成的三角形面積.


求救啦!

訪客

 

benice 於 星期日 十月 09, 2016 9:12 pm



左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

解:

如圖所示,加入一些標示點與輔助線。

以下 (1)∼(4) 先求一些線段的長度。

(1) 求 Q1C 與 Q2C。

因為 △O1CQ1 與 △O2CQ2 相似,
所以 (O1C):(O2C) = (O1Q1):(O2Q2) = 5:3

因此,
O1C = (O1O2) × 5/(5+3) = 10 × 5/(5+3) = 25/4
O2C = (O1O2) × 3/(5+3) = 10 × 3/(5+3) = 15/4

在 △O1CQ1 中,
Q1C = √[(O1C)² - (O1Q1)²] = √[(25/4)² - 5²] = 15/4

在 △O2CQ2 中,
Q2C = √[(O2C)² - (O2Q2)²] = √[(15/4)² - 3²] = 9/4


(2) 求 P1P2

P1P2 = √[(O1O2)² - (O1P1 - O2P2)²] = √[10² - (5 - 3)²] = 4√6


(3) 求 AP1

AP2 = AR2   (過 A 點的小圓切線段 AP2 與 AR2 等長)
    = AQ1 + Q1C + CR2
    = AP1 + Q1C + Q2C   (過 A 點的大圓切線段 AQ1 與 AP1 等長;過 C 點的小圓切線段 CR2 與 Q2C 等長)
    = AP1 + 15/4 + 9/4
    = AP1 + 6

因為 AP1 + AP2 = P1P2
所以 AP1 + (AP1 + 6) = 4√6
2AP1 + 6 = 4√6
AP1 = 2√6 - 3


(4) 求 BP2

BP1 = BR1   (過 B 點的大圓切線段 BP1 與 BR1 等長)
    = BQ2 + Q2C + CR1
    = BP2 + Q2C + Q1C   (過 B 點的小圓切線段 BQ2 與 BP2 等長;過 C 點的大圓切線段 CR1 與 Q1C 等長)
    = BP2 + 9/4 + 15/4
    = BP2 + 6

因為 BP1 + BP2 = P1P2
所以 (BP2 + 6) + BP2 = 4√6
2BP2 + 6 = 4√6
BP2 = 2√6 - 3


(5) 求 △ABC 的面積。

AC = AQ1 + Q1C = AP1 + Q1C
BC = BQ2 + Q2C = BP2 + Q2C

△ABC 的面積
= (梯形 O1O2P2P1 面積) - (△P1O1A 面積) - (△AO1C 面積) - (△P2O2B 面積) - (△BO2C 面積)
= (O1P1 + O2P2)(P1P2)/2 - (AP1)(O1P1)/2 - (AC)(O1Q1)/2 - (BP2)(O2P2)/2 - (BC)(O2Q2)/2
= [(5 + 3)(4√6) - (AP1)(5) - (AP1 + Q1C)(5) - (BP2)(3) - (BP2 + Q2C)(3)] / 2
= [32√6 - 10(AP1) - 5(Q1C) - 6(BP2) - 3(Q2C)] / 2
= [32√6 - 10(2√6 - 3) - 5(15/4) - 6(2√6 - 3) - 3(9/4)] / 2
= [32√6 - 20√6 + 30 - 75/4 - 12√6 + 18 - 27/4] / 2
= [48 - 102/4] / 2
= [48 - 51/2] / 2
= [96 - 51] / 4
= 45/4
= 11.25 ■


註:
由 (3), (4) 知 AP1 = BP2,即使改變兩圓的半徑與連心線長,此結果依然成立。


benice
專 家
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文章: 269
註冊時間: 2010-02-08

[國中]公切線謝謝您@

訪客 於 星期六 十月 15, 2016 12:12 am


謝謝大師詳細說明!

訪客

 






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