[數學]數學解題問題

[數學]數學解題問題

ian870604 於 星期一 九月 26, 2016 10:55 am


k∈z , 多項式f(x)=x的2次方+k與g(x)=x的3次方+3kx+2的最高公因式為一次式,則k=?

這題要怎麼去解?不太明白

ian870604
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benice 於 星期一 九月 26, 2016 6:23 pm



根據因式定理,k 可由聯立方程式
f(x) = 0 且 g(x) = 0 求得。

x² + k = 0 ...... (1)
x³ + 3kx + 2 = 0 ...... (2)

由 (1) 得 k = -x² 並代入 (2),


x³ + 3(-x²)x + 2 = 0
-2x³ + 2 = 0
x³ = 1
x = 1 (其他虛根不合)

所以 k = -1² = -1 ...... (ans.)

f(x) = x² - 1 = (x - 1)(x + 1)
g(x) = x³ - 3x + 2 = (x - 1)²(x + 2)


註:
也可以用 2 的因數 ±1, ±2 去檢驗以下四種可能情況而求得 k:
1. f(1) = 0,  g(1) = 0
2. f(-1) = 0,  g(-1) = 0
3. f(2) = 0,  g(2) = 0
4. f(-2) = 0,  g(-2) = 0

benice
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