[高中] 正十七邊形尺規 之半角公式應用 麻煩幫我說明最後部分

[高中] 正十七邊形尺規 之半角公式應用 麻煩幫我說明最後部分

rabbitfate 於 星期二 九月 06, 2016 7:59 pm


這個應該是很有名的問題~高斯在19歲弄出來der

就是如何尺規作圖 正十七邊形

證明的方法 在維基百科 請自行搜尋 十七邊形

但是他的證明有點簡略 , 我跟著他 證明 卡在 下圖 紅色圈起來的地方   (詳細部分請上維基 上半部證明我截掉了,只顯示出我不會的地方)

題外話: 當初高中學三角函數 教材跟老師好像也沒提到這個東西, 不禁懷疑起 自己數學老師對數學的熱誠~  




左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

rabbitfate
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benice 於 星期三 九月 07, 2016 6:14 am



我用 Wolfram Alpha 輔助計算得到:

cos(α)
= [-1 + √17 + sqrt(34 - 2 √17)] / 16
   + sqrt(17 + 3√17 + sqrt(170 - 26√17) - 4sqrt(34 + 2 √17)) / 8

紅色部分和原式不一樣,但是
紅色部分 sqrt(170 - 26√17) - 4sqrt(34 + 2 √17)
和原式的 -sqrt(34 - 2√17) - 2sqrt(34 + 2 √17)
皆等於 -sqrt(170 + 38√17)。

benice
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benice 於 星期四 九月 08, 2016 7:02 pm



我後來求得 x1 x2 = -1/4 且 y1 y2 = -1/4,
所以不用靠 Wolfram Alpha 解四次方程,直接手算就可以,過程如下:

Step1. 先列出維基百科已有的式子:

x1 = cos(α) + cos(4α) ...... (*)
x2 = cos(2α) + cos(8α)
y1 = cos(3α) + cos(5α)
y2 = cos(6α) + cos(7α)
x1 + x2 = (-1 + √17)/4 ...... (1)
y1 + y2 = (-1 - √17)/4 ...... (2)


Step2. 判別 x1 與 y1 的正負號:

因為 0 < 2π/17 < 8π/17 < π/2
即 0 < α < 4α < π/2
所以 cos(α) > 0 且 cos(4α) > 0
因此 x1 > 0

cos(α) cos(4α)
= (cos(4α-α) + cos(4α+α))/2 (By 積化和差)
= (cos(3α) + cos(5α))/2
= y1/2 ...... (**)  (由此式可得 y1 > 0


Step3. 計算 x1 x2 與 y1 y2

x1 x2
= [cos(α) + cos(4α)] [cos(2α) + cos(8α)]
= cos(α) cos(2α) + cos(α) cos(8α) + cos(2α) cos(4α) + cos(4α) cos(8α)
= [cos(α) + cos(3α) + cos(7α) + cos(9α) + cos(2α) + cos(6α) + cos(4α) + cos(12α)] / 2 (By 積化和差)
= [cos(α) + cos(3α) + cos(7α) + cos() + cos(2α) + cos(6α) + cos(4α) + cos()] / 2
= [cos(α) + cos(2α) + cos(3α) + cos(4α) + cos(5α) + cos(6α) + cos(7α) + cos(8α)] / 2
= [-1/2] / 2
= -1/4

所以
x1 x2 = -1/4 ...... (3)

同理可得
y1 y2 = -1/4 ...... (4)


Step4. 解 x1 與 y1

解 (1), (3) 得
x1 = [-1 + sqrt(17) + sqrt(34 - 2 sqrt(17))] / 8 (負根不合)...... (A)

解 (2), (4) 得
y1 = [-1 - sqrt(17) + sqrt(34 + 2 sqrt(17))] / 8 (負根不合)...... (B)


Step5. 解 cos(α):

cos(α) + cos(4α) = x1 ...... (*)
cos(α) cos(4α) = y1/2 ...... (**)
解得
cos(α)
= [2x1 ± sqrt(4x12 - 8y1)] / 4
= [x1 ± sqrt(x12 - 2y1)] / 2

將 (A), (B) 代入上式並化簡得
cos(α)
= [-1 + sqrt(17) + sqrt(34 - 2 sqrt(17))] / 16
  + sqrt(17 + 3 sqrt(17) - sqrt(34 - 2 sqrt(17)) - 2 sqrt(34 + 2 sqrt(17))) / 8

近似值約 0.932472 (另一根的近似值約 0.092268,不合,為 cos(4α) 的解)

benice
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rabbitfate 於 星期四 九月 08, 2016 8:17 pm


感謝~這應該是正解了

人老了這種暴力解法就轉不動了(汗)

rabbitfate
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