[大學]關於邊界值的一些問題

[大學]關於邊界值的一些問題

訪客 於 星期三 十二月 30, 2015 2:37 pm


最近有在上BVP,但是有一些觀念不是很懂

就是1.為啥邊界條件一定要給在邊界阿,任意兩點應該也可以吧,可是好像都沒看過不是給在邊界的

      2.一般的題目好像都是二階的,齊性解有兩項,而兩個邊界條件在 入不等於特徵值下,剛好會消掉兩個項.
     但诺是三階的問題,齊性解有三個項,兩個條件只能削掉兩個項,這樣不是會發生 入=任一值時,解都不為零嗎?
    
      3.IVP不會產生類似BVP的問題嗎,就是 入=xx時會使特解為非零解
     感覺還是有點抽象... 如果可以的話能不能麻煩舉個比較直觀的物理例子?
     有點不能體會兩者的差異,希望有高手能夠幫忙解惑,感謝.

訪客

 

eaglle 於 星期四 十二月 31, 2015 9:22 am


1. 邊界問題一般是指給定兩個點(或以上)的條件, 這樣一來, 這兩個點當然就是它們之間的那個區間的邊界; 而在很多應用問題上, 之所以要指定兩個點的條件, 常常是因為這兩點恰好是要解的物理問題的端點, 例如, 研究一個弦的震動, 弦的兩端往往是釘死的, 而弦又只繃在這兩端之間。但這只是邊界問題這個名詞的來源, 並不是說那兩點必須是某個範圍的邊界; 就好像初始問題, 我們也把指定條件的那個點叫做初始點, 但它到底是不是真的初始, 也並不重要。何況, 有些邊界問題是指定三個點的條件 (詳見下文), 那三個點就更談不上是哪個範圍的邊界了。

2.我猜你的意思是, 就二階齊次常微方而言, 一般都是有兩個線性獨立的解, 而通解是此二獨立解的線性組合, 因而通解中總是有兩個待定係數; 這時候, 把兩個點 (即邊界點)的條件代入時, 通常都會解得兩個係數為0, 也就是只能得到0 解。那麼, 為了要得一個非0解, 只好在方程式中加入一個參數 (即lamda); 當lamda等於某些特定值(即特徵值)時, 可以解得非0的係數, 也就是解得非0解。換言之, 我們用增加方程式的自由度, 換取邊界條件所給的限制, 以便得到非0解。

以上, 是純就數學上求解所做的思考; 但這整個事情的來源, 是來自於解物理問題, 例如波動或熱方程。這些物理問題的方程式通常是W微方, 因為它涉及兩個變數, 一個是位置x, 另一個是時間t (例如弦上一點的運動決定於它在弦上的位置和它的時刻); 當我們用分離變數法去解這些彷微方的時候, 會得到一個含有參數的常微方, 而同時附帶邊界條件。所以, 邊界問題之所以參入了一個lamda, 是在現實上真的會遇到的事情, 並不是求解時故意弄出來的玄虛。

至於你提到的三階常微方, 如果是線性齊次的話, 如果只給兩個點的邊界條件, 通常可以得到無限多解; 但如果給三個點的邊界條件, 往往又只能得到0解。所以, 配合三個點的邊界條件, 我們又可以在方程式的某處加上個lamda, 這樣, 又會是當某些lamda值時, 有非0解。

3. 初始值問題和邊界值問題的本質不同, 因為, 初始值一點給定為0, 0解就是唯一的解, 再在方程式中加入參數lamda也沒有差別; 例如, y''+ky=0這個方程式, 如果附帶的初始條件是 y(0)=y'(0)=0, 無論k值如何, 都只有0解。所以, 物理上的邊界值問題很有趣, 指定邊界條件後, 只有某些狀態可以發生(有解), 其它狀態都不能發生, 這是大自然給的規定; 思考這些問題, 讓我們在大自然面前覺得渺小。例如, 指定弦的長度 (端點距離), 弦的張力和密度等, 加上兩端釘死不能動 (如吉它或小提琴), 則該弦只能發出某些一定的頻率 (基音及其泛音)的聲音; 換言之, 邊界條件 (和弦的物理性質)決定了它的震動方式 (頻率)。

以上, 是否有回答到你的問題, 希望告訴一聲; 常常花了很多時間耐心回答訪客的問題後, 卻得不到一點回饋, 感覺滿不好的XD

eaglle
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訪客 於 星期五 一月 01, 2016 3:30 am


挖...有點不好意思耶,原本也沒抱著多大期待,就來問看看,

沒想到大大回答得這麼詳盡,尤其是那個弦的例子真的還蠻有感覺的

雖然是不影響解題拉,不過我常常就會為了些小問題,心裡就很不舒服

看完大大的回覆後,我是不敢說我已經完全能搞懂BVP,

畢竟最後自己還是需要花些時間慢慢去體會

不過至少這幾個困擾著我的小問題解決了,心裡真的踏實了許多,

能更甘願的寫題目了,哈哈

真的很感謝大大願意花時間來回答我

訪客

 

eaglle 於 星期五 一月 01, 2016 11:58 am


其實我是覺得你問的問題很好, 大部份的人都只會把書上或老師教的東西吃進去, 但不會自己去感覺有沒有什麼怪怪的

平常我們都說學到的東西要經過消化, 但請問何謂消化? 消化就是讓新進的東西和原有的舊東西發生變他, 並融為一體
但舊東西是什麼呢? 這個單元不是還沒學嗎? 既然沒學怎麼會有舊東西?

這裡就是重點: 舊東西, 就是指根據去的經驗, 或說直覺, 對新東西的質疑, 也就是覺得這也怪怪的, 那也怪怪的, 而且兜不在一起
所以, 保留這種質疑, 非常重要----接下來, 就是讓新進東西能和這些質疑發生關係: 或者是解答它, 或者雖不能解答, 但能帶來新的感覺

以上, 是皮亞傑認知理論 (同化與順應) 在現實上的具體解釋

以下, 就你提的初始問題和邊界問題的對比 (這是非常好的問題), 再做進一步的說明:

初始問題有一個基本定理, 就是給定初始值 y(0), y'(0) 存在唯一解 (假設是二階常微方)
但邊界問題並沒有這樣的定理: 給定邊界值後, 有可能有很多解, 也有可能無解

具體而言, 如果方程式是 y''+ky=0, 因為y=0當然是滿足y(0)=y'(0)=0的一解, 而解又是唯一的, 所以, 滿足y(0)=y'(0)=0就只有0 解, 沒有非0解
如果改成邊界條件 y(0)=y(1)=0, y=0當然還是一解 (無論k是多少), 但是, 如果K 值恰好的某些特微值的話, 就有非0 解, 而k值不對的話, 就無解

所以, 事情真正的關鍵, 是在解的唯一存在定理: 初始條件下有此定理, 邊界條件下無此定理
那麼, 為什麼二者有這樣的差異呢?

這就要回到微方的本質: 一個微方, 是規定了y和y',y''等的關係, 一旦在某一點 (即所謂初始點) 指定了y,y'的值, 根據微方就可以算出此點的y''的值
再根據此點的y''的值, 可以算下隣近的下一點的y', 並根據此y'算出下一點的y,
這樣一路走下去, 整個y就被決定了 (以上是解的唯一存在定理的証明的描繪)
同時我們可以想像, 如果一開始指定的是y(0)=y'(0)=0, 依微方走下去就只有一種走法, 即y痤巧0


改成邊界條件的話, 事情就完全兩樣了
因為指定y在0點的值, 並不能預料它依照微方走下去, 會不會到達指定的另一點的值
所以, 有可能根本走不到, 也有可能走到, 如果把方程式裡面的K調整一下的話
但重點是, 無論如何, y痤巧0都還是一解, 只不過不是唯一解了

eaglle
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訪客 於 星期日 一月 03, 2016 2:22 pm


我自己整理了一個討論,這是我目前最新的理解,哈哈 獻醜一下

IVP:     就是當初使條件充足的給定後,就可由初值出發,透過斜率往旁邊長出新的點.  而又可透過ODE帶入新的點,得到新的斜率,就可以一直醬,把整條函數長出來.

     一階:y'+y=r(x), 只要有某一點的值或斜率,就能帶入ode得到另一個,就能用上述方法畫出整個函數. (係數省略,醬比較乾淨)


     二階:y''+y'+y=r,只要知道某一點的y'' y' y其中兩個,透過ode就能知道第三個. 三個都知道後,就能由y,y' 得到下一個y, 由y'',y'得到下一個y'.  
                       由下一個y,y'透過ode又可知到新的y'', 下個點的三個值也都知道了,就又能在知道下個點的三個值,然後一直下去.
          
                    
                       如果只知某點的一個值,帶入ode只能知道剩的兩個相加的值. 這時ode只給這兩個值的關係有限制,並沒有限制他們的值.所以給定其中一個的值為代數C,
                       另一個的值也就能用C表示了. 醬一來又就有三個值了,就能像剛剛那樣畫出函數, 只不過除了初始點,之後的每一點的三個值都將包含C,因此函數會隨著C變
                       化.


                       又如果都沒給的話,就先給定其中一個為代數C,  剩的兩個的和就能用C來表示.  然後再令其中一個為代數D, 最後一個就能用C和D表示,
                       如此一來又就有三個值了.只是最後畫出來的函數,會受到C和D的影響.


     三階...我想還是算了...不過討論都是一樣的.



     對了,如果ode有缺項的話,也是可以的. 我原本是差點以為我上面都白討論了= =
     若y''+y=r,  IC: y''(0)=a ,  y(0)=b   ,乍看之下,如果不令y'為代數,就進行不下去了,然而給了兩個條件,就不應該有未定的數.
     其實是這IC給的有問題,不應該給這兩個的. 因為透過ode, 知道y就可知y'',反之亦然,都給還有可能出現與ode矛盾的情況.

     
     


BVP: 若以二階為例,因一個邊界只會給一個條件,所以套用剛剛ivp的討論,可以從起始邊界長出一個隨C變化的函數.所以長到另一邊界後,可得到用C表示的三個值.這時會發生以下情形:

     1.C隨便代都能滿足另一個條件

     2.某些C才能滿足

     3.任何C都不滿足(若ode,BC 為齊性,則C=0必滿足)

     所以是要倒過來想,ode要怎樣才能有解,非零解


大概就是醬子吧...然後我想要再偷問個問題

就是那個特徵值 入和線代的Ax=入x,到底有甚麼關西阿= =
我們老師還說S-L BVP 和A*=A:自伴隨有關
雖然我覺得我現代算還OK,但是我完全看不出來...
再麻煩大大一下了

訪客

 

eaglle 於 星期一 一月 04, 2016 11:35 am


你整理的討論非常好


至於self adjoins operator 的事情是這樣的:

把所有可微分函數收集在一起成為一個空間V (把每個函數都看成一個向量),在其中適當定義內積《》,則某些微分算子D在此內積下會滿足 《Df ,g》=《f,Dg》(即自伴隨),這時,在某些適當條件下,可証明V中存在一組由D的特徴向量構成的基底。這個証明不必用到空間是有限維(V當然是無限維),也不必用到矩陣;所以線代中講的那些只是上述更一般定理的特例。

這表示「微方特徵值問題」和「線性代數特徵值問題」在「本質」上是相同的,雖然表面上看起來很不一樣;這是數學的強大的力量,能使我們洞燭the heart of the matter !

以上說的函數空間上的自伴隨算子等問題, 是屬於數學的「泛函分析 (functional analysis)」課題, 而其應用常在量子力學, 並不是僅僅做抽象推理而已

eaglle
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