[大學]線性代數求解(急)

[大學]線性代數求解(急)

訪客 於 星期三 三月 04, 2015 11:14 pm


才上過線性代數的第一堂課..
我不太懂這題作業要怎麼回答....請大家幫忙了QAQ

Suppose elimination takes A to U without row exchanges.
Then row j of U is a combination of which rows of A?
If Ax=0, is Ux=0?     If Ax=b, is Ux=b?
If A starts out the lower triangular,  what is the upper triangular U?

訪客

 

Re: [大學]線性代數求解(急)

jeffrey6301 於 星期一 十二月 28, 2015 4:23 pm


Anonymous 寫到:才上過線性代數的第一堂課..
我不太懂這題作業要怎麼回答....請大家幫忙了QAQ

Suppose elimination takes A to U without row exchanges.
Then row j of U is a combination of which rows of A?
If Ax=0, is Ux=0?     If Ax=b, is Ux=b?
If A starts out the lower triangular,  what is the upper triangular U?




它是在問
如果某矩陣A在做高斯消去的時候都不需要做row對調
消去完的結果變成U
那U的第j個row是A的哪些row的線性組合

高斯消去法是由上而下的消去
所以上面的row不會受到下面的row影響
第j個row只受第1,2,3,...,j-1個row影響
第j個row當然也會受自己影響
所以U的第j個row會是A的第1,2,3,...,j個row的線性組合

底下的問題牽涉到一個觀念
高斯消去其實是一種線性轉換
也就是說
U = TA

第一個問題
Ax = 0的話,Ux會等於0嗎?
Ux = TAx = T(Ax) = T*0 = 0
答案是yes

第二個問題
Ax = b的話,Ux會等於b嗎
Ux = TAx = Tb 當然不等於b
除非T是單位矩陣
答案是No

最後一題是在問
如果A是一個下三角矩陣
那U跟A會是什麼關係

這其實有點邏輯問題
因為如果A是下三角矩陣
那高斯消去的時候就一定要做row對調
題目開頭卻說不做row對調
我只能建議忽略「不做row對調」這個條件

因為A本身就是下三角矩陣
在做高斯消去的時候必定只需要做row交換
不需線性組合(用上面的row往下減)
所以U會是A的上下顛倒

jeffrey6301
初學者
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