[大學] 線性代數問題

[大學] 線性代數問題

訪客 於 星期四 十二月 04, 2014 4:06 pm


1.請問dim(V)=rank(T)+Nullity(T) 是指什麼?怎麼證明?2.A=2*2矩陣 0  1                     0  0 rank(A)=1是為什麼?怎麼計算的?
3.請問以下是非題敘述要如何解釋(說明)
(g) Linear operaters on infinite dimentional vector spaces never have eigenvalues.(h)An n*n matrix A with entries from a field F is similar to a diagonal matrix if and only if there is a basis for F^n consisting of eigenvectors of A. (j) Similar matrixes always have the same eigenvectors.4.為何微分是線性函數?5.O中間加一直線(數學符號)是什麼意思?怎麼運用? (A->La(x)兩個中間的數學符號)感謝


訪客

 

eaglle 於 星期四 十二月 04, 2014 7:08 pm


1. N(T) 是指那些T作用下去會得到0的V中的向量 =
    R(T)是指T作用在V上的所有的結果 =
    其實, 你需要一個圖來理解:
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

現在, 為R找一個basis:
換言之, 我們假設R是r維的;

再為N找一個basis:
也就是假設N的維數是n

接下來, 我們可以証明: 這些v's 和這些u's合起來, 一定會是V的basis , (這部份就請你查書了)
這樣, 使等於証明了V的維數是r+n,

總之, N和R的維數和, 恰等 於V的維數, 這件事情可以這樣看 (但不是証明, 証明在上面):

原來V的維數是某數, 但T會將其中的n維(即N的維數) 殺掉 (映至0), 而映出來的有r維(即R的維數),
換言之, 某數-n=r, 所以某數就等於n+r了啊  
    (正式的証明書上都有, 但上面的圖, 和這個看法, 是一般書上不會有的)

查書如有不明白的, 再提出來不要客氣

eaglle
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eaglle 於 星期四 十二月 04, 2014 7:11 pm


3. 先說答案, 理由再補:

Linear operaters on infinite dimentional vector spaces never have eigenvalues.----錯


(h)An n*n matrix A with entries from a field F is similar to a diagonal matrix if and only if there is a basis for F^n consisting of eigenvectors of A.------正確


(j) Similar matrixes always have the same eigenvectors.----錯

eaglle
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eaglle 於 星期四 十二月 04, 2014 7:13 pm


5.O中間加一直線(數學符號)是什麼意思?怎麼運用?
  只是個拉丁字母, 通當用它代表角度, 但這完全只是習慣, 不是非如此不可



(A->La(x)兩個中間的數學符號)
這個看不懂

eaglle
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eaglle 於 星期四 十二月 04, 2014 7:17 pm


2. 可以看出A作用在 (1,0) 上會得到0向量; A作用在(0,1)會得到(0,1), 所以它會把任何向量 (都可以用(1,0) (0,1)表示) 都映到(0,1)的陪數, 所以R是1維的
      [上面的向量都要寫成行向量]

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eaglle 於 星期日 十二月 14, 2014 6:18 pm


補上3. 的理由:

Linear operaters on infinite dimentional vector spaces never have eigenvalues.----錯

反例: 例如D為微分算子, vector space ={所有可微分函數},
所以, 任何實數都是 eigen value

(h)An n*n matrix A with entries from a field F is similar to a diagonal matrix if and only if there is a basis for F^n consisting of eigenvectors of A.------正確


(j) Similar matrixes always have the same eigenvectors.----錯
    
    如果 , 而
    則

    所以, 若v是A的eigen vector, 則 Pv 是B的eigen vector; A的eigen vector 和B的不一樣

eaglle
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