[問題]這兩個不等式有無特定的名稱?

[問題]這兩個不等式有無特定的名稱?

訪客 於 星期四 三月 13, 2014 9:41 pm


不等式1 : 對所有的實數x  , 1 + x ≤ ex
不等式2 : p > 0 , (1 - p)m ≤ e-mp

請問上述的兩個不等式是否有特定的名稱

或者 可以予以證明呢?

訪客

 

benice 於 星期六 三月 15, 2014 2:55 pm


不等式 1:
(方法一) 使用微分方法:考慮函數 ex - 1 - x。
(方法二) 使用均值定理:對函數 ex 在 [0,x] 或 [x,0] 上套用均值定理。
(方法三) 使用極限與 Bernoulli 不等式:

由 Bernoulli 不等式 (http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli's_inequality),  
對任意偶數 n ≧ 0 與任意實數 x,(1 + x/n)n ≧ 1 + n(x/n) = 1 + x。  

所以,對任意實數 x
ex = lim (1 + x/n)n ≧ 1 + x。 ■  
     n→∞     



不等式 2 有誤,參考下圖:

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benice
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註冊時間: 2010-02-08






機率及排列組合數學