[高中]高中數學 多項式怎麼解

[高中]高中數學 多項式怎麼解

Sherry 於 星期四 六月 06, 2013 5:16 pm


求解下列兩題:


1.設deg f(x) ≧3, 若f(x)除以x-1 , x2+x+2所得餘式分別為3和 2x-7 ,求f(x)除以(x-1)(x2+x+2)的餘式

2.多項式f(x)=x3-3x+2 ,求多項式 f(f(x))除以x-2的餘式

Sherry
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devell 於 星期五 六月 07, 2013 8:29 am


(1) 設deg f(x) ≧3, 若f(x)除以x - 1 , x^2 + x + 2 所得餘式分別為3和 2x - 7 ,求f(x)除以(x-1)(x^2 + x + 2)的餘式


     通常 f(x)除以( x - 1 )( x^2 + x + 2 )  的餘式為 ax^2 + bx +c


     所以 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 ) Q(x) + ax^2 + bx +c


     如果是這樣的話,那題目就需要給我 3 個條件,我們才能去解 a、b、c 的值


     但這題只給我 f(1) = 3


     因此,我們的餘式假設,就必須要用 "降階" 餘式假設法!


     本來 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 )Q(x) + ax^2 + bx +c
  
     改成 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 )Q(x) + m ( x^2 + x + 2 ) + ( 2x - 7 )  


     此時再把 f(1) = 3 套入


     f(1) = 0 + m ( 1 + 1 + 2 ) + ( 2 - 7 ) = 3


     求得 m = 2


     因此可得到 f(x) = ( x - 1 )( x^2 + x + 2 )Q(x) + 2 ( x^2 + x + 2 ) + ( 2x - 7 )


     餘式的部分為 2 ( x^2 + x + 2 ) + ( 2x - 7 )  


     再去化簡就可以了!


    
     

devell
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devell 於 星期五 六月 07, 2013 8:33 am


(2) 多項式f(x)=x^3 - 3x + 2 ,求多項式 f(f(x)) 除以 x-2 的餘式

     由條件可以知道,當 x 代入2 時,可以得到 f(2) = 4

     而 f(f(x)) => f(f(2)) = f(4)

     再求出 f(4) = 54

    不知道這樣的答案對不對?

devell
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Sherry 於 星期五 六月 07, 2013 3:03 pm


謝謝!

Sherry
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