[高中]重複組合

[高中]重複組合

訪客 於 星期日 十月 07, 2012 10:00 pm


1.試求X+Y+Z+U=12的非負整數解及正整數解各有多少組?



2.已知將8的相同的球放進5個不同的箱子,若規定每個箱子至少放1個球,則有多少種放法?



3.已知X+Y+Z=10,且X≥1,Y≥2,Z≥3, 試求其整數解的組數。

訪客

 

gkw0824usa 於 星期六 十月 13, 2012 1:27 am


1.
picture this:
you are trying to find out the permutation of 12 rocks and 3 sticks (3 sticks divides the rocks into 4 spaces which are X,Y,Z,U respectively)
xxxxxxxxxxxx |||

eg.   xxxx|xxxx|xx|xx (X,Y,Z,U)

so the non negative sol would be  (12+3)!/(12!3!)

now if you want positive sol:
first assign each (X,Y,Z,U) 1 rocks each, then the problem will be reduced to similar to the one we did except that
the initial setup would then be the following:
xxxxxxxx, |||
so the you would be finding the permutation of 8 rocks  and 3 sticks.
find the permutation and you're done
Atra esternī ono thelduin
Mor'ranr līfa unin hjarta onr
Un du evarīnya ono varda.


May good fortune rule over you
Peace live in your heart
And the stars watch over you.

gkw0824usa
研究生
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文章: 114
註冊時間: 2005-07-06
來自: Univesity of Texas at Austin

gkw0824usa 於 星期六 十月 13, 2012 1:28 am


Since 2, 3 are similar, you should try and solve them yourself.
Atra esternī ono thelduin
Mor'ranr līfa unin hjarta onr
Un du evarīnya ono varda.


May good fortune rule over you
Peace live in your heart
And the stars watch over you.

gkw0824usa
研究生
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devell 於 星期六 十月 13, 2012 8:53 pm


1. 試求X+Y+Z+U=12的非負整數解及正整數解各有多少組?

   非負整數解:

   H 4取12 = C 15取12

                = C 15取3

                = (15 x 14 x 13) / (3 x 2 x 1)
    
                = 455

   正整數解:各丟給1之後再算

   X' + Y' + Z' + U' = 8  (各丟1個後,只剩8個)

   H 4取8  = C 11取8

               = C 11取3

               = (11 x 10 x 9) / (3 x 2 x 1)
    
               = 165

devell
大 師
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devell 於 星期六 十月 13, 2012 8:57 pm


2. 已知將8的相同的球放進5個不同的箱子,若規定每個箱子至少放1個球,則有多少種放法?

   相同的東西,丟入不同的相子 => 重複組合

    X + Y + Z + W + U = 8

   而每個箱子至少放1個球,則是要求正整數解,所以先各丟1個給他們。

   X' + Y'+ Z' + W' + U' = 3 (各丟1個後,只剩下3個)

   H 5取3 = C 7取3

              = (7 x 6 x 5) / (3 x 2 x 1)

              = 35

devell
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devell 於 星期六 十月 13, 2012 9:02 pm


3. 已知X+Y+Z=10,且X≥1,Y≥2,Z≥3, 試求其整數解的組數。

    若只是要求非負整數解,只需要求( H 3取10 ) 的值就好。

    但題目要求 X≥1,Y≥2,Z≥3,
  
    所以 X先丟1個給它,Y先丟2個給它,Z先丟3個給它

    X' + Y'' + Z''' = 4  (共丟了6個,所以只剩4個)

    H 3取4 = C 6取4

               = C 6取2

               = (6 x 5) / (2 x 1)

               = 15

devell
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