wichan 寫到:
湊數字湊不出來,不知道有什麼好做法
預備知識:
1. 對照拋物線標準式: x
2 = 4py
2. 對稱軸 x=0 (平方項)
3. 焦點(0,p)
4. 頂點(0,0) 為直線 x=0 與 y=0 的交點 (注意此兩直線互相垂直)
5. 圖形與焦點在 y=0 的同一側
6. 圖形平移(h,k), 則方程式變為 (x-h)
2 = 4p(y-k)
7. 旋轉 x = ax' + by', y=-bx' + ay', 且 a
2 + b
2 = 1, 拋物線方程式變成 (ax'+by')
2 = 4p(-bx'+ay')
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1. 已知是拋物線, 則二次項可配方成完全平方
(2x+3y)
2 = -4x + 20y + 8
2. 由此可知, 此拋物線的對稱軸與 2x+3y=0 平行,
所以令對稱軸方程式為 2x+3y+k=0, 則
(2x+3y+k)
2 = (4k-4)x + (20+6k)y + 8 + k
2
3. 決定k值的方法:
2x+3y+k=0 與 (4k-4)x+(20+6k)y+8+k
2 =0 互相垂直.
因此 2(4k-4) + 3(20+6k) = 0, 可算出 k = -2
4. 頂點A:
2x+3y-2=0 與 -12x+8y+12=0 的交點
A=(1,0)
5. 平移: 將圖形平移使得頂點在原點, 也就是往(-1,0)的方向平移
則 (2x+3y)
2 = -12x + 8y
(此處不必計算, 直接將常數項捨棄即是平移結果, why? 自己想看看)
6. 為方便計算, 先將右式的x,y係數, 寫成: (2x+3y)
2 = 4(-3x+2y)
注意: 重點是寫成左邊(2,3), 而右邊(-3,2) 的形式, 並不是提出 4的倍數
7. 兩邊同除以 (2
2 + 3
2) = 13, 則可以符合旋轉公式 a
2 + b
2 = 1的要求
(2x+3y)
2/13 = 4/√13 * [(-3x+2y)/√13]
所以 4p = 4/√13, 因此可得 p = 1/√13
8. 記得頂點A(xa,ya)=(1,0)與焦點F(xf,yf)都在對稱軸上, 相距p, 而對稱軸上的單位向量為 (-3/√13,2/√13)
所以 xf - xa = -3/√13 * p = -3/13,
yf - ya = 2/√13 * p = 2/13
因此焦點座標F = (1-3/13,2/13) = (10/13,2/13)
為什麼對稱軸的單位向量要用 (-3/√13√,2/√13), 而不用反方向呢? 自己想想看.
(對照 benice 的圖, 會更清楚!, 感謝benice)