[國中]連老師都算不出來的奇怪數學問題

[國中]連老師都算不出來的奇怪數學問題

1234door 於 星期六 三月 17, 2012 1:07 pm


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
天才左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖  &左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖  笨蛋

1234door
實習生
實習生
 
文章: 63
註冊時間: 2009-05-18

Re: [國中]連老師都算不出來的奇怪數學問題

lskuo 於 星期六 三月 17, 2012 9:45 pm


1234door 寫到:左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖


其實不難
Hint:
S1 = 1 + 2 + 3 + .. + n = n(n+1)/2
S2 = 12+ 22 + .. + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 = n(n+1)/2 * [(2n+1)/3] = S1(2n+1)/3
S3 = 13+ 23 + .. + n3 = [(n+1)4-(n+1)]/4 -3S2/2 -S1 = n(n+1)(n2+3n+3)/4-3S2/2 -S1 = S1(n2+3n+3)/2-3S2/2 -S1 = S1的倍數
...
Sm = [(n+1)m+1-(n+1)] / (m+1) + S1的倍數

證明 [(n+1)m+1-(n+1)] / (m+1)是S1的倍數, 就留給其他人完成吧.

lskuo
專 家
專 家
 
文章: 209
註冊時間: 2010-11-10

Re: [國中]連老師都算不出來的奇怪數學問題

1234door 於 星期日 三月 18, 2012 12:15 am


lskuo 寫到:
1234door 寫到:左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖


其實不難
Hint:
S1 = 1 + 2 + 3 + .. + n = n(n+1)/2
S2 = 12+ 22 + .. + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 = n(n+1)/2 * [(2n+1)/3] = S1(2n+1)/3
S3 = 13+ 23 + .. + n3 = [(n+1)4-(n+1)]/4 -3S2/2 -S1 = n(n+1)(n2+3n+3)/4-3S2/2 -S1 = S1(n2+3n+3)/2-3S2/2 -S1 = S1的倍數
...
Sm = [(n+1)m+1-(n+1)] / (m+1) + S1的倍數


證明 [(n+1)m+1-(n+1)] / (m+1)是S1的倍數, 就留給其他人完成吧.




S3 = 13+ 23 + .. + n3 = [(n+1)4-(n+1)]/4 -3S2/2 -S1 = n(n+1)(n2+3n+3)/4-3S2/2 -S1 = S1(n2+3n+3)/2-3S2/2 -S1 = S1的倍數


可以請教一下,上面的式子如何計算出的?
天才左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖  &左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖  笨蛋

1234door
實習生
實習生
 
文章: 63
註冊時間: 2009-05-18

Re: [國中]連老師都算不出來的奇怪數學問題

lskuo 於 星期日 三月 18, 2012 9:50 pm


(n+1)m = nm + C(m,1)nm-1 + C(m,2)nm-2 + ... + C(m,m-1)n + 1
這裡
C(m,k) = m!/k!/(m-k)!


1m = 1
2m = 1m + C(m,1)2m-1 + C(m,2)2m-2 + ... + C(m,m-1)2 + 1
...
(n+1)m = nm + C(m,1)nm-1 + C(m,2)nm-2 + ... + C(m,m-1)n + 1

所以, 將上面 n+1個式子左右分別相加, 消去左右相同的項,
(n+1)m -1 = C(m,1)Sm-1 + C(m,2)Sm-2 + ... + C(m,m-1)S1 + n

C(m,1)Sm-1 = (n+1)m -(n+1) - C(m,2)Sm-2 - ... - C(m,m-1)S1

例如, 當 m = 4,
C(4,1) = 4, C(4,2)=6, C(4,3)=4

4S3 = (n+1)4 -(n+1) -6S2  - 4S1

lskuo
專 家
專 家
 
文章: 209
註冊時間: 2010-11-10






國中數學問題