[國中]無理數比有理數多?

[國中]無理數比有理數多?

1234door 於 星期六 十月 29, 2011 10:23 pm


聽說無理數比有理數多,


但有理數不是有無限多個嗎?

比無限還要多?有這種數字嗎?
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1234door
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Re: [國中]無理數比有理數多?

lskuo 於 星期一 十月 31, 2011 10:28 am


1234door 寫到:聽說無理數比有理數多,


但有理數不是有無限多個嗎?

比無限還要多?有這種數字嗎?


很好, 提出這種疑問. 要回答這個問題, 必須先了解所謂 "可數" (countable) 的概念.

所謂可數, 簡單的說, 就是集合內元素的個數可以與自然數(由小到大)開始對應, 那就是可數. 例如{a,c,g,q,z,h}, 我們可以將a-->1, c-->2, g-->3, q-->4, z-->5, h-->6, 所以這個集合是可數的, 總共有6個元素,

關於有理數是可數的, 可參考以下連結:
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:1nj32iXhdCoJ:www.ptt.cc/bbs/Math/M.1284035947.A.71C.html+%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B8+%E5%8F%AF%E6%95%B8+countable&cd=1&hl=zh-TW&ct=clnk&gl=tw&lr=lang_zh-TW

至於無理數是不可數的證明, google 一下應該很多, 就不贅述了.

岔開話說一個有趣的性質:
一般來說, 子集合的個數不會比原先的集合多. 但當個數是無限的時候, 就不一定了. 舉例來說, 自然數是奇數(1,3,5,7,...)與偶數(2,4,6,8,...)的集合. 所以偶數是自然數的一個子集合, 但是偶數2n(奇數也一樣)的個數與自然數是一樣多!!! (因為每一個偶數 2n, 都會跟自然數n對應, 也就是說, 偶數是可數的)

lskuo
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devell 於 星期五 二月 24, 2012 2:35 am


簡單來說,有理數是指可以化成為分數的數字

但在兩分數之間,有更多不能化成成數的數字,這些就稱為無理數

例如:根號4=2,……………, 根號9=3 (此兩數為有理數)
    
         可是從根號5~根號8,就都是無理數了。

所以說無理數會比有理數更多~~

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lskuo 於 星期五 二月 24, 2012 11:10 am


devell 寫到:簡單來說,有理數是指可以化成為分數的數字

但在兩分數之間,有更多不能化成成數的數字,這些就稱為無理數

例如:根號4=2,……………, 根號9=3 (此兩數為有理數)
    
         可是從根號5~根號8,就都是無理數了。

所以說無理數會比有理數更多~~


這個說法有待商榷, 按照這種推理, 那也可以說在兩個無理數之間, 有無限多的有理數, 因此推論出有理數比無理數多.

在處理個數無限的集合, 要特別小心.

lskuo
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devell 於 星期五 二月 24, 2012 11:42 am


兩無理數之間的確也是可以找到有理數,

但畢竟不能夠化為分數型態的數,還是會比能化為分數型數的數要來得多!

比如:以1跟0.9循環來說,兩個皆為有理數,而且0.9循環非常趨近於1,
  
         不過在兩數之間,一定存在著不能化為分數的數存在著!

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lskuo 於 星期五 二月 24, 2012 11:59 am


devell 寫到:兩無理數之間的確也是可以找到有理數,

但畢竟不能夠化為分數型態的數,還是會比能化為分數型數的數要來得多!

比如:以1跟0.9循環來說,兩個皆為有理數,而且0.9循環非常趨近於1,
  
         不過在兩數之間,一定存在著不能化為分數的數存在著!


無理數的確比有理數多 (這是本題證明的結果)

"不能夠化為分數型態的數,還是會比能化為分數型數的數要來得多!"
這句話並沒有在文內提出證明, 只能算是"無理數比有理數多" 的另一種講法.

lskuo
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devell 於 星期五 二月 24, 2012 12:30 pm


証明哦~~~

恩,我的確沒有想到方法,我只能依照所學到的觀念,
轉換成比較容易懂的方式來解說。

還是大大有辦法証明一下給我們大家看一下吧!

devell
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lskuo 於 星期五 二月 24, 2012 6:24 pm


devell 寫到:証明哦~~~

恩,我的確沒有想到方法,我只能依照所學到的觀念,
轉換成比較容易懂的方式來解說。

還是大大有辦法証明一下給我們大家看一下吧!


本題是經典的數學題目, 網路上不乏相關的資訊, 可以找google大神幫忙! 倒是不必重貼.

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