[大學]極限考古題

[大學]極限考古題

HUcula6 於 星期日 九月 18, 2011 8:12 pm



1.

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖




2.

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

HUcula6
初學者
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文章: 3
註冊時間: 2011-09-18

benice 於 星期四 九月 22, 2011 10:27 am


1.
 
   √(x² + x + 1) - (1 + ax)
lim ────────────── (0/0 不定型)
x→0       x²
 
     (2x + 1)/[2√(x² + x + 1)] - a
= lim ──────────────── (by L'Hospital's Rule)
  x→0        2x
 
如果 a = 1/2,則上式為 0/0 不定型,極限有可能存在。
 
如果 a < 1/2,則上式的左極限為 -∞,右極限為 ∞,故極限不存在。
 
如果 a > 1/2,則上式的左極限為 ∞,右極限為 -∞,故極限不存在。
 
   (2x + 1)/[2√(x² + x + 1)] - 1/2
lim ─────────────────
x→0        2x
 
     2x + 1 - √(x² + x + 1)
= lim ───────────── (0/0 不定型)
  x→0   4x√(x² + x + 1)
 
        2 - (2x + 1)/[2√(x² + x + 1)]
= lim ─────────────────────── (by L'Hospital's Rule)
  x→0 4√(x² + x + 1) + 2x(2x + 1)/√(x² + x + 1)
 
   2 - 1/2
= ─────
    4
 
= 3/8
 
因此 a = 1/2,b = 3/8,a + b = 7/8。 ■
 
 
2.
y > 0 時
(3|y| - 8y) / (4|y| + 2y³)
= (3y - 8y) / (4y + 2y³)
= -5 / (4 + 2y²)
→ -5/4 as y → 0+
 
y < 0 時
(3|y| - 8y) / (4|y| + 2y³)
= (-3y - 8y) / (-4y + 2y³)
= -11 / (-4 + 2y²)
→ 11/4 as y → 0-
 
左極限≠右極限,故極限不存在。 ■
 

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benice
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