[數學]三角函數聯立方程式求解

[數學]三角函數聯立方程式求解

訪客 於 星期四 三月 24, 2011 5:57 pm




A、B、C、D為已知數
求α、β等於多少

訪客

 

訪客 於 星期四 三月 24, 2011 9:58 pm


題目不太清楚我重po一下

A cosα - B cosβ = C
A sinα - B sinβ =D

A、B、C、D為已知 求α、β的閉合解

訪客

 

benice 於 星期六 三月 26, 2011 7:44 pm


A. 考慮 C ≠ 0 或 D ≠ 0。

 假設 D ≠ 0 (C ≠ 0 的情況類似,省略)

 將原式整理成
 A cos(α) - C = B cos(β)
 A sin(α) - D = B sin(β)

 以上兩式等號兩邊分別平方,得
 A²cos²(α) + C² - 2 A C cos(α) = B²cos²(β)
 A²sin²(α) + D² - 2 A D sin(α) = B²sin²(β)

 以上兩式等號左右分別相加,得
 A²[cos²(α) + sin²(α)] - 2A[C cos(α) + D sin(α)] + C² + D² = B²[cos²(β) + sin²(β)]

 因為 cos²(α) + sin²(α) = 1 且 cos²(β) + sin²(β) = 1,得
 A² - 2A[C cos(α) + D sin(α)] + C² + D² = B² ...... (1)


 將原式整理成
 A cos(α) = B cos(β) + C
 A sin(α) = B sin(β) + D

 同理可得
 A² = B² + 2B[C cos(β) + D sin(β)] + C² + D² ...... (2)


 令θ滿足
 sin(θ) = C / √(C² + D²)
 cos(θ) = D / √(C² + D²)
 ﹝即 θ= arctan(C/D)﹞

 利用和角公式,可將 (1), (2) 分別化成
 A² - 2A[(√(C² + D²)) sin(α+θ)] + C² + D² = B²
 A² = B² + 2B[(√(C² + D²)) sin(β+θ)] + C² + D²

 再整理成
 sin(α+θ) = (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)]
 sin(β+θ) = (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)]

 所以
 α +θ = arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) + 2mπ
 β +θ = arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) + 2nπ
 或
 α +θ = -arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) + π + 2mπ
 β +θ = -arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) + π + 2nπ
 m, n 為整數。

 整理得
 α = arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + 2mπ
 β = arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + 2nπ
 或
 α = -arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π + 2mπ
 β = -arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π + 2nπ
 m, n 為整數。 

 原式的解集合為
 { (α1 + 2mπ, β1 + 2nπ) | m, n 為整數 } ∪ { (α2 + 2mπ, β2 + 2nπ) | m, n 為整數 }
 其中
 α1 = arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D)
 β1 = arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D)
 α2 = -arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π
 β2 = -arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π ■

範例圖示(A=5, B=4, C=2, D=1):
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

圖示線條說明:
紅色:
A cos(x) - B cos(y) = C

綠色:
A sin(x) - B sin(y) = D

粗粉紅:
α = arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + 2mπ

細粉紅:
α = -arcsin( (A² - B² + C² + D²) / [2A√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π + 2mπ

粗淡藍:
β = arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + 2nπ

細淡藍:
β = -arcsin( (A² - B² - C² - D²) / [2B√(C² + D²)] ) - arctan(C/D) + π + 2nπ

原式的解集合 =『所有粗粉紅線與粗淡藍線的交點』∪『所有細粉紅線與細淡藍線的交點』 ■


B. 考慮 C = D = 0

 原式可化成
 A cos(α) = B cos(β)
 A sin(α) = B sin(β)

 以上兩式等號兩邊先分別平方,然後左右再分別相加,得
 A²[cos²(α) + sin²(α)] = B²[cos²(β) + sin²(β)]

 因為 cos²(α) + sin²(α) = 1 且 cos²(β) + sin²(β) = 1,得
 A² = B²

 所以 A = ±B

1.若 A = B = 0
 則原式的解集合為整個平面 { (α, β) | α, β 為實數 }。 ■

2.若 A = B ≠ 0
 原式可化成
 cos(α) = cos(β)
 sin(α) = sin(β)

 cos(α) = cos(β)
 => β = α + 2mπ or β = -α + 2mπ

 sin(α) = sin(β)
 => β = α + 2nπ or β = -α + π + 2nπ

 原式的解集合為 { (α, α + 2kπ) | α 為實數,k 為整數 }。 ■

3.若 A = -B ≠ 0
 原式可化成
 cos(α) = -cos(β)
 sin(α) = -sin(β)

 cos(α) = -cos(β)
 => β = α + π + 2mπ or β = -α + π + 2mπ

 sin(α) = -sin(β)
 => β = α + π + 2nπ or β = -α + 2nπ

 原式的解集合為 { (α, α + π + 2kπ) | α 為實數,k 為整數 }。 ■

benice
專 家
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文章: 269
註冊時間: 2010-02-08






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