[高中]問一題數論證明

[高中]問一題數論證明

你好~ 於 星期六 一月 08, 2011 11:57 am


在小數點後接連寫出所有

自然數,得無限小數0.123456789101112131415...

證明:此數為無理數。

拜託了。

你好~
訪客
 

benice 於 星期一 一月 10, 2011 8:35 am


有理數有個性質就是能表成有限小數或循環小數,例如:

1/8 = 0.125
1/7 = 0.142857,142857,142857, ... ,142857, ......

0.123456789101112131415... 的小數部分含有任意個相鄰的相同數字 (例如 000...0),
所以不可能循環,即不循環的無限小數,因此是無理數。

0.123456789101112131415... 有個名稱叫 Champernowne 常數,請參考:
http://en.wikipedia.org/wiki/Champernowne_constant

benice
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你好~ 於 星期二 一月 11, 2011 10:57 am


0.123456789101112131415... 的小數部分含有任意個相鄰的相同數字
這句可以敘述詳細一點嗎?
謝謝!!

你好~
訪客
 

benice 於 星期二 一月 11, 2011 3:00 pm


你好~ 寫到:0.123456789101112131415... 的小數部分含有任意個相鄰的相同數字
這句可以敘述詳細一點嗎?

謝謝!!

令 Ch = 0.12345678910111213...,
所以
 Ch 的小數部分含有任意個相鄰的相同數字 ... (*)
顯然 Ch 為無限小數,以下以反證法證明其為無理數。

假設 Ch 為 p 循環 (p 為正整數),顯然 p≠1。
若循環之前最多有 q 個相鄰的相同數字,
即 Ch 型如
0.12345678910111213...{q 個相鄰的相同數字}...{p 循環}{p 循環}{p 循環}...,
我們選取 k = max{p+1, q+1},則
循環開始後不可能容得下 k 個相鄰的相同數字,此與(*)矛盾!
所以由反證法知 Ch 為循環的假設有誤,
因此 Ch 為不循環的無限小數,即無理數。■

 

benice
專 家
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你好~ 於 星期二 一月 11, 2011 9:25 pm


還是不太懂你的說法
不過我自己已經證出來了
總之謝謝你的分享:))
等考試考完我再回來仔細想想嘿:))

話說,網頁裡面的那個C10=什麼,
那個什麼可以幫我整理一下嗎?(因為它排版排成那樣,一些符號的位置令我不太清楚)

你好~
訪客
 






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