[大學]線性代數(急)

[大學]線性代數(急)

iok543 於 星期三 六月 02, 2010 1:33 am


1.
2.左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
5.
Suppose that S = {v1,v2 ,v3} is a linearly independent set of vectors in a vector space V. Is T ={w1,w2,w3}, where w1 = v1+v2, w2=v1+v3, w3=v2+v3,linearly dependent or lineary independent? Justify your answer.

(拜託大大 能順便講解題目的翻譯嗎?只懂部分單字 不會拼起來.....)

iok543
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benice 於 星期三 六月 02, 2010 8:28 am


10.
解方程組:

  aX1 + bX2 + cX3 = O (O 為零向量)  (*)

如果 (*) 只有唯一解 (a,b,c) = (0,0,0),則 {X1, X2, X3} 為線性獨立(linearly independent);
如果 (*) 除了 (0,0,0) 還有其他解,則 {X1, X2, X3} 為線性相依(linearly dependent)。

(*) 的係數矩陣 [ X1 | X2 | X3 ] 為

  1  1  1
  2  0  6
  0 -1  2
  1  1  0

經過列運算(排版不便,過程請自行運算),
以上矩陣的減縮列梯型矩陣(Reduced row echelon form)為

  1  0  0
  0  1  0
  0  0  1
  0  0  0

所以 (*) 只有唯一解 (0,0,0),故 {X1, X2, X3} 為線性獨立。 ■

7.
經過列運算(排版不便,過程請自行運算),
A 的減縮列梯型矩陣為

  1  0  1  0
  0  1  1  0
  0  0  0  1
  0  0  0  0

所以 AX = O 的解 (x1, x2, x3, x4) 和以下方程組相同

  x1 + x3 = 0
  x2 + x3 = 0
  x4 = 0

令 x3 = t,則
  x1 = -t
  x2 = -t
  x3 = t
  x4 = 0

即 AX = O 的解可寫成 t(-1, -1, 1, 0)。

故 { (-1, -1, 1, 0) } 可生成(span) AX = O 的解空間(solution space)。 ■

35.
(a)
通過點 (2, -3, 1),(4, 2, 5) 之直線的參數式(parametric equation)為

x = 2 + (4 - 2)t = 2 + 2t
y = -3 + [2 - (-3)]t = -3 + 5t
z = 1 + (5 - 1)t = 1 + 4t

即 (x, y, z) = (2 + 2t, -3 + 5t, 1 + 4t), t 為實數。

(b)
解法類似 (a),略。 ■

34.
(a)
(x, y, z) = (3 + 4t, 4 - 5t, -2 + 2t), t 為實數。

(b)
解法類似 (a),略。 ■


5.
aW1 + bW2 + cW3 = O

=> a(V1 + V2) + b(V1 + V3) + c(V2 + V3) = 0

=> (a + b)V1 + (a + c)V2 + (b + c)V3 = 0

=> (a + b) = (a + c) = (b + c) = 0 ﹝因為 V1, V2, V3 為線性獨立﹞

=> a = b = c = 0

所以 W1, W2, W3 為線性獨立。

即 T = {W1, W2, W3} 為線性獨立集。 ■

 

 

benice
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iok543 於 星期五 六月 04, 2010 1:16 am


感謝大大的幫忙

iok543
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