[第 1 題]
[第 2 題]
令 y=√x => x=y²,dx = 2y dy
所以 ∫sin(√x) dx = ∫(siny)(2y) dy
= -2 ∫(y) d(cosy)
= -2 [(y)(cosy) -∫cosy dy] ﹝by 分部積分法:u=y, v=cosy﹞
= -2 [y cosy - siny + K], K 為常數
= 2siny - 2y cosy + C, C 為常數
= 2sin(√x) - 2(√x)cos(√x) + C, C 為常數
註:
其實不先做變數變換也可直接分部積分:
∫sin(√x) dx
-2(√x)sin(√x)
= ∫ ----------------- dx
-2(√x)
= -2∫ (√x) d(cos(√x))
= -2 [ (√x)(cos(√x)) - ∫(cos(√x)) d(√x) ] ﹝by 分部積分法:u=√x, v=cos(√x)﹞
= -2 [ (√x)(cos(√x)) - (sin(√x) + K) ], K 為常數
= 2sin(√x) - 2(√x)cos(√x) + C, C 為常數