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請問各位高手，這2題已經困擾我很久了.....
1. 0≦y≦兀,且x-y=兀/4,試求sinx+cosy的最小值?此時x=?
2.設x為任意實數，試求y=(sinx+1)/(cosx+√2)的最 大值?最小值?

第 1 題
解：

sinx + cosy
= sin(y+π/4) + cosy
= siny*cos(π/4) + cosy*sin(π/4) + cosy
= siny*(1/√2) + cosy*(1/√2) + cosy
= (1/√2)siny + (1+1/√2)cosy

設函數 f(y) = (1/√2)siny + (1+1/√2)cosy，-∞＜y＜∞。

令 tanθ=(1+1/√2)/(1/√2)=1+√2，則
f(y)
= ﹝√[(1/√2)²+(1+1/√2)²]﹞* sin(y+θ)
= ﹝√(2+√2)﹞* sin(y+θ)

所以當 y+θ= 3π/2 時，即 y = 3π/2 -θ時，f 有最小值。

以計算機計算或查三角函數表得θ≒1.178097245096172≒1.1781
3π/2 -θ≒3.534291735288518≒3.5343
π≒3.141592653589793≒3.1416
∴ 3π/2 -θ＞π
因為函數 f 的週期 2π，所以 [0,π] 內不可能有函數 f 的最小值。

∴ f 在 0≦y≦π上的最小值為 f(π)﹝由三角函數圖形，另一端點極值 f(0) 不需考慮﹞

f(π) = (1/√2)sin(π) + (1+1/√2)cos(π) = (1/√2)*0 + (1+1/√2)*(-1) = -(1+1/√2)

故 sinx + cosy (0≦y≦π) 的最小值 = -(1+1/√2)
此時 y=π，x=π+π/4 = (5/4)π
f 的函數圖形：




第 2 題最小值為 0，最大值好像只能求近似值。
只用三角函數的方法我還沒想到，貼張函數圖形希望對你有所幫助：

第1題，其實我算了一半，後面就沒有用正餘弦的疊合繼續算下去了，感謝你的詳解