[數學]拍賣方法的藝術

[數學]拍賣方法的藝術

yll 於 星期日 九月 20, 2009 7:22 pm


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有一幅名畫要拍賣,而有n個買家。設買家Bi心中看這幅畫的價值是pi。若買家最後買不到畫,他最終的「滿足度」為0;若他以價格p買了這幅畫,他的「滿足度」為pi-p。而買家們的目標都是令滿足度盡量大。所以,買家Bi是絕不會以高於pi的價錢買畫的,因為他不買的話滿足度為0,但他以高於pi的價錢買畫,滿足度就變了負數。拍賣以「投暗標」方式進行,即每名買家只可向拍賣行提一次價,而這個價是保密的——其他買家是不知道的。

決定名畫誰屬的第一種方法就是大家所想的:價高者得。這個方法叫first priceauction。假設買家們都不知道其他買家心中看名畫的價值,那麼他們應如何出價呢?他們就要估其他畫家看這幅畫的價值,對不對?若看這幅畫價值最高的幾個買家都錯誤地低估其他買家的叫價,名畫賣出的價錢恐怕就要大大降低。

有沒有其他方法令買家投標價就是他們各自的pi呢?有!這個方法叫second price auction。方法是:各買家投暗標後,投標價最高者以投標第二高價購得名畫。即是說,若四名買家投標價分別是14M、12M、8M和6M,第一名買家將以12M價格購得名畫。

這時,大家要仔細想一想。買家的確是會以各自的pi投標的;因為無論其他人投標價如何,若他們以低於pi的價格投標,都不可能會有better benefit。以上一段的例子來說,第一名買家不論以14M或13M投標,他最後的滿足度都是14M-12M = 2M;但若他以11M投標,他們滿足度就是0。以低於pi投標只會令滿足度有減少的風險。

現在回到first priceauction。假設買家們還是不知道其他買家心中對名畫的價格,但現時卻有多一點的資料:買家心中價格滿足一個probabilitydistribution。那麼,買家們應該怎樣投標呢?我們可以見到一個很漂亮與second priceauction呼應的答案:假設自己心中價格是最高,然後以second highest bidding的預期值(expectedvalue)投標。舉例說,若那個probabilitydistribution是說買家心中價格在6M至18M之間平均分佈,那麼心中價格是14M的買家就應以(6+14)M/2 = 10M的價格投標。

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看見一個需要,並用數學解決它!

yll
帥哥良~
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