[數學]等巴士之謎

[數學]等巴士之謎

yll 於 星期日 九月 20, 2009 7:19 pm


假設某路線的巴士每 20 分鐘一班。如果乘客到達車站的時間是隨機的,而巴士又永遠準時到站的話,那麼乘客的平均候車時間是 10 分鐘(當然,最短的候車時間是 0 分鐘,最長則是 20 分鐘)。如果班次不準確但車子的數目不變的話(例如有些班次早到數分鐘,有些遲到數分鐘),那麼對乘客的平均候車時間將有何影響?

看下去之前,不妨停下來先想想。

由於車子的數目不變,那麼有些班次早到而有些遲到的話,表面上平均候車時間似乎不變(車子遲來的話,有些人久等了,但有些卻因而趕上該車子,而車子早來的情況也類似),其實不然。

考慮一下這個頗為極端的情況:單數的班次(第 1 班、第 3 班、……)總是遲到 10 分鐘,而雙數的班次則總是早到 10 分鐘。那麼,20分鐘一班的巴士會變成每 40 分鐘一次過來兩班,但對乘客來說這跟每 40 分鐘一班沒有分別 -- 平均候車時間變成了 20 分鐘!

再考慮另一個情況:單數的班次總是遲到 3 分鐘,而雙數的班次則總是早到 3 分鐘。那麼從某班單數的班次開出到下一個單數班次到站的 40分鐘可視為一個循環,如果我們假設這 40 分鐘期間每分鐘有一名乘客到達車站的話,那麼他們的候車時間分別為14、13、…、1、0、25、24、…、1、0 分鐘,不難發現平均候車時間超過 10 分鐘(可以不經計算而看出此事嗎?)。

一般來說,如果巴士並非全部準時到達的話,那麼平均候車時間便會超過 10分鐘。因為時間是連續的,要嚴謹證明這事有點麻煩,故這裡從略。不過懂得積分(integration)的讀者可以一試,事實上以上結果是排序不等式(rearrangement inequality)的一個「連續版(continuous version)」呢。

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看見一個需要,並用數學解決它!

yll
帥哥良~
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