[數學]證明PA=PB+PC

[數學]證明PA=PB+PC

Raceleader 於 星期日 五月 11, 2003 9:34 am


圖中,點P為等邊三角形ABC的外接圓上任一點,且PA>PB及PA>PC。證明PA=PB+PC。
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

Raceleader
訪客
 

---- 於 星期日 五月 11, 2003 12:44 pm


By Ptolemy's theorem,
PA x BC = PB x AC + PC x AB
PA = PB + PC

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訪客
 

Raceleader 於 星期日 五月 11, 2003 1:14 pm


This is method 2
You can think method 1, not use Ptolemy Theorem  ㄏㄏㄏ

Raceleader
訪客
 

scsnake 於 星期日 五月 11, 2003 1:32 pm


相似形?

scsnake
訪客
 

--- 於 星期日 五月 11, 2003 1:40 pm


cosine law?

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訪客
 

---- 於 星期日 五月 11, 2003 1:40 pm


scsnake 寫到:相似形?

O是BC和AP的交點。
ACO=BPO (angle in same seg.)
CAO=PBO (angle in same seg.)
AOC=BOP (vert. opp. angle)
ACO similar to BPO (AAA)
AO/BO=AC/BP (corr. sides, similar triangle)
BP = AC*BO/AO

BAO=PCO (angle in same seg.)
ABO=CPO (angle in same seg.)
BOA=POC (vert. opp. angle)
BAO similar to PCO (AAA)
AO/CO=AB/PC (corr. sides, similar triangle)
PC = AB*CO/AO

PAC=CAO (common angle)
APC=CBA=60(angle in same seg.)
=ACO (base angle of iso. triangle)
ACP=180-PAC-APC(angle sum of triangle)
=180-CAO-ACO
=AOC
PAC similar to CAO (AAA)
PA/CA=AC/AO
PA=AC^2/AO

PB+PC
=AC*BO/AO + AB*CO/AO
=(AB/AO)(BO+CO)
=(AB)^2/AO
=AC^2/AO
=PA

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訪客
 

Raceleader 於 星期日 五月 11, 2003 1:42 pm


Without using Trigonometry

Raceleader
訪客
 

---- 於 星期日 五月 11, 2003 1:48 pm


ACB=ABC=60
BPA=ACB=60(angle in same seg)
APC=ABC=60(angle in same seg)
把三角形APC 以A 點為定點旋轉使得C與B重合,P 點變成P',則
AP'=AP, BP'=PC
AP'P=APC=60
APP'=60
P'AP=180-AP'P-APP'
=180-60-60
=60
So AP'P is an equilateral triangle.
PP'=PA
BP+P'B=PA
BP+PC=PA

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訪客
 

--- 於 星期日 五月 11, 2003 2:36 pm


PA^2+PB^2=AB^2+2PA*PB*COS60'=a^2+PA*PB.....(1)
PA^2+PC^2=AC^2+2PA*PC*COS60'=a^2+PA*PC....(2)
PB^2+PC^2=BC^2+2PB*PC*COS120'=a^2-PB*PC...(3)
-(1)-(2)+(3)*2:
PB^2+PC^2-2PA^2=-2PB*PC-PA*(PB+PC)
(PB+PC)^2+PA*(PB+PC)-2PA^2=0
(PB+PC-PA)(PB+PC+2PA)=0
==> PB+PC=PA

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訪客
 

Raceleader 於 星期日 五月 11, 2003 3:38 pm


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

延伸BP至D,使PD=PC。連PC及PD。

∵△ABC是一等邊三角形 (已知)
∴AB=BC=CA (等邊三角形性質)
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60° (等邊三角形性質)
∵ABPC是一圓內接四邊形 (已知)
∴∠DPC=∠CAB=60° (圓內接四邊形外角)

PC=PD (已知)
∴∠PCD=∠PDC (等腰三角形底角)
∠PCD+∠PDC=180°-∠DPC (三角形內角和)
∴2∠PCD=180°-60°=120°
∴∠PCD=∠PDC=60°
∴∠DPC=∠PCD=∠PDC=60°
∴△DPC是一等邊三角形

∠CBD=∠CAP (同弓形內的圓周角)
∠APC=∠ABC=60° (同弓形內的圓周角)
∴∠BDC=∠APC=60°
DC=PC (等邊三角形性質)
∴△BDC≡△APC (AAS)
∴BD=AP (全等三角形的對應邊)
∴BP+PD=AP
∴PA=PB+PC

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期日 五月 11, 2003 3:40 pm


用三角或座標固然可解
但盡量希望用平面幾何去解

不要再問為甚麼

Raceleader
訪客
 

---- 於 星期日 五月 11, 2003 4:07 pm


how about me? can i have 3000?

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訪客
 

Raceleader 於 星期日 五月 11, 2003 4:11 pm


same ppl have different answer can have 1000 also
said before  ㄏㄏㄏ

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期日 五月 11, 2003 4:12 pm


It can encourage other ppl try
Meowth get 500

Raceleader
訪客
 

---- 於 星期日 五月 11, 2003 4:15 pm


I have three methods posted, can i have 3000?

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訪客
 

Raceleader 於 星期日 五月 11, 2003 4:20 pm


以前說過
為鼓勵多些人解題
每人最多只能對同一題拿一次錢

Raceleader
訪客
 

--- 於 星期日 五月 11, 2003 10:33 pm


Raceleader 寫到:用三角或座標固然可解
但盡量希望用平面幾何去解

不要再問為甚麼


那麼這個版只能稱為" 幾何之前前前前前前前前前前前前前前前世",因為這些東西都是幾千年前的東西

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訪客
 

--- 於 星期日 五月 11, 2003 11:14 pm


Kang: you should ask him for more money before post your 2nd or third methods.

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訪客
 

---- 於 星期一 五月 12, 2003 12:51 am


Meowth 寫到:Kang: you should ask him for more money before post your 2nd or third methods.


算吧,我一天的利息也大概有一千元 ㄏㄏㄏ

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訪客
 

--- 於 星期一 五月 12, 2003 10:40 am


平面與解析幾何孰美

http://lib.swsh.tpc.edu.tw/science/content/1983/00020158/0005.htm

要看懂這篇的也要有相當的解析實力. 我國三聯考前一天勉強看懂, 到現在也還是如此.  灰灰的

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訪客
 




平面&空間幾何