由 陳雲南 於 星期五 十一月 07, 2008 3:02 pm
所謂ε δ 定義是一個聰明的定義, 沒有辦法中的辦法
要證明 x無限接近2的時候, 1/(x-1)無線接近1
辦法是這樣的...
只要說明下列成立即可:
對於任何一個正數ε, 都有一個正數δ
只要|x-2|<δ , 則|1/(x-1)-1|<ε
意思是,
若ε=1, 則有δ=0.5
只要|x-2|<0.5 , 則|1/(x-1)-1|<1
若ε=0.1, 則有δ=0.01
只要|x-2|<0.01 , 則|1/(x-1)-1|<0.1
若ε=0.01, 則有δ=0.001
只要|x-2|<0.001 , 則|1/(x-1)-1|<0>0 , 則有δ=ε/(1+ε) (此處另限制ε<0.1,則有δ=ε/(1+ε)<0.1, 以方便不等式運算)
只要|x-2|<δ=ε/(1+ε) (此時|x-2|<δ<0.1, 1.9<x<2.1)
則 -ε/(1+ε) < x-2 < ε/(1+ε)
1/(1+ε) < x-1 <1> 1/(x-1) > (1+ε)/(1+2ε)
ε > 1/(x-1)-1 > -ε/(1+2ε) > -ε
|1/(x-1)-1|<ε