[邏輯]兩寶箱悖論?

[邏輯]兩寶箱悖論?

asmobia 於 星期六 五月 03, 2008 9:17 am


現在有兩個寶箱甲與乙,裡面都藏有鈔票,其中一個的數額是另一個的十倍;只不過在打開寶箱之前我們分不出誰多誰少。
如果讓您在其中選一個,請問您怎麼選?這問題看起來很無聊是不是?可是裡面大有文章的。。。


假設您一開始先選擇了甲,但是在打開之前,有人過來問你要不要換成乙,這個時候您怎樣考慮的呢?
先假定甲裡面有 n 元,那麼乙裡面不是 10n 元、就是 0.1n 元。
期望值是 ( 10+0.1 )*n/2 = 5.5n 元,顯然比 n 要多,那是非換不可。


可是一但換成了乙,在打開之前,又有人問你要不要換回甲,這時您又該如何思考呢?
先假定乙裡面有 m 元,那麼甲裡面不是 10m 元、就是 0.1m 元。
期望值是 ( 10+0.1 )*m/2 = 5.5m 元,顯然比 m 要多,那又是非換不可。


請試試看用條件機率來破除這個悖論。

asmobia
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piny 於 星期六 五月 03, 2008 4:13 pm


嗨 好久不見 ^^

小弟來試看看

兩個寶箱 一個為N 另一個為10N

所以你任選一個寶箱的期望值為5.5N

那麼當有人建議你要不要換,其實另一個期望值也是應該5.5N

應該是一樣的

piny
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asmobia 於 星期一 五月 05, 2008 3:29 am


piny 寫到:嗨 好久不見 ^^

小弟來試看看

兩個寶箱 一個為N 另一個為10N

所以你任選一個寶箱的期望值為5.5N

那麼當有人建議你要不要換,其實另一個期望值也是應該5.5N

應該是一樣的


piny 是聰明的解答, 可是您並沒有找出小弟一樓的說法有何不對啊!

再扯到一個條件概率的經典題, 蒙提霍爾三門問題:
"綜藝節目的遊戲裡有三扇門, 其中一扇門後面有獎品, 另外兩扇門後面沒有東西.
來賓先選一扇門, 但是不打開; 而主持人 (事先就知道答案了) 從剩下兩扇門裡, 剔除掉沒有獎品的一扇門, 然後再問來賓要不要更換原先的選擇. "

從條件概率來算, 原本來賓選的門有三分之一的中獎機率, 而那一扇經過主持人篩選的門具有三分之二的中獎機率, 所以結論是要換.


好, 回到原題兩寶箱悖論:
小弟一樓的悖論是: "為什麼針對某一個寶箱來說, 另一個總是比較好?"
您二樓的解答是:" 不要針對某一個寶箱來分析, 應該同時看兩個寶箱."
那現在小弟想問的是: "為什麼不可以針對一個寶箱來分析? 蒙提霍爾三門問題不就是這樣做的嗎?"

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Re: [邏輯]兩寶箱悖論?

colanpa 於 星期二 五月 13, 2008 9:23 pm


asmobia 寫到:現在有兩個寶箱甲與乙,裡面都藏有鈔票,其中一個的數額是另一個的十倍;只不過在打開寶箱之前我們分不出誰多誰少。
如果讓您在其中選一個,請問您怎麼選?這問題看起來很無聊是不是?可是裡面大有文章的。。。


假設您一開始先選擇了甲,但是在打開之前,有人過來問你要不要換成乙,這個時候您怎樣考慮的呢?
先假定甲裡面有 n 元,那麼乙裡面不是 10n 元、就是 0.1n 元。
期望值是 ( 10+0.1 )*n/2 = 5.5n 元,顯然比 n 要多,那是非換不可。


可是一但換成了乙,在打開之前,又有人問你要不要換回甲,這時您又該如何思考呢?
先假定乙裡面有 m 元,那麼甲裡面不是 10m 元、就是 0.1m 元。
期望值是 ( 10+0.1 )*m/2 = 5.5m 元,顯然比 m 要多,那又是非換不可。


請試試看用條件機率來破除這個悖論。


首先 你( 10+0.1 )*n/2 = 5.5n 計算錯誤

10.1除以2=5.05

這不是重點


你假定甲是n卻又說乙是10n或0.1n

這不是同一個case

n與10n 是一個case (此時n表示較少者)

0.1n與n 是另一個case (此時n表示較多者)

雖然同樣是n

可是一個代表較多者一個代表較少者

意義不同 (甲同時是較多者和較少者?!甲不可能同時較多又較少吧)

拿不同的case的10n和0.1n平均是啥麼...

啥麼都不是...

你只能先假設甲乙兩個分別是n與10n

不知道甲跟乙哪個是哪個的情況下選擇的期望值才是(n+10n)/2=5.5n

兩個都是5.5n不論你先選甲或乙都是5.5n不會影響

或者你先假設甲乙兩個分別是0.1n與n

期望值是(0.1n+n)/2=0.55n

不論你是選擇這兩種假設的哪一種

期望值的結果都是"較少者"的5.5倍
24歲不吸菸 沒錢沒馬子

colanpa
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Re: [邏輯]兩寶箱悖論?

asmobia 於 星期日 五月 18, 2008 7:59 am


謝謝 colanpa版友,您樓上講得很對,但是小弟只有四個問題:


假設現在有一個小朋友A過來,指著寶箱甲說:"我假設寶箱甲堶惘 n 元。"
問題一:請問小朋友A可不可以這樣說?

小朋友A接著說:"寶箱甲比較好的機率,與寶箱乙比較好的機率相等,都是二分之一。"
問題二:請問小朋友A可不可以這樣說?

小朋友A接著說:"所以寶箱乙不是 10n 元,就是 0.1n 元。"
問題三:請問小朋友A可不可以這樣說?

(10n + 0.1n)/2 = 5.5n
小朋友A接著說:"5.5n > n,所以乙寶箱比較好。"
問題四:請問小朋友A可不可以這樣說?



可否請您回答這四題?看看小朋友A可不可以說這四句話?
要是都可以說,那待會兒還有一位小朋友B,會走過來假定寶箱乙裡面有 m 元,最後得出寶箱甲比較好的結論。

asmobia
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Re: [邏輯]兩寶箱悖論?

小龜 於 星期四 七月 10, 2008 11:21 pm


asmobia 寫到:謝謝 colanpa版友,您樓上講得很對,但是小弟只有四個問題:


假設現在有一個小朋友A過來,指著寶箱甲說:"我假設寶箱甲堶惘 n 元。"
問題一:請問小朋友A可不可以這樣說?

小朋友A接著說:"寶箱甲比較好的機率,與寶箱乙比較好的機率相等,都是二分之一。"
問題二:請問小朋友A可不可以這樣說?

小朋友A接著說:"所以寶箱乙不是 10n 元,就是 0.1n 元。"
問題三:請問小朋友A可不可以這樣說?

(10n + 0.1n)/2 = 5.5n
小朋友A接著說:"5.5n > n,所以乙寶箱比較好。"
問題四:請問小朋友A可不可以這樣說?



可否請您回答這四題?看看小朋友A可不可以說這四句話?
要是都可以說,那待會兒還有一位小朋友B,會走過來假定寶箱乙裡面有 m 元,最後得出寶箱甲比較好的結論。




前三句都可以  第四個算式錯誤
[手上一個盒子A  另外有一個盒子B B有可能裝的是自己手上的10倍或0.1倍的錢  換是否會比較划算?]
這樣的題目才是你的算式


你的算式漏掉一個前提 就是取到的A本身也要算機率
取到的A是大是小 是1/2機率  
設A有N   這個假設就已經不再是條件機率了  而是把"條件當成已知"
所以在設B有M也是一樣  變成了"換不換"的問題
而不是原本的問題 "任取一個之後 換不換"    差了一句話
簡單講 你的算式所算出的期望值  跟你提的問題實際上是不同情況
只是看起來像是同情況而已

好比你舉的那個例子
如果 選了一個箱子之後 剩下全部的開到只剩一個沒開
你把它當成已知   (錯誤)  那麼機率是一半一半  換不換是一樣 (就跟你的問題一樣 忽略了一開始選擇的機率沒算進去)
你把它當條件機率(正確)  那麼機率就差很多了  (答案是換會比較划算)
come on baby

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raymond008375 於 星期四 五月 13, 2010 9:29 pm


其實兩個寶箱ge期望值都係5.5n,根本冇分別,所以根本唔需要換

你其實忽略o左一件事︰實際值同期望值根本係兩回事,唔可以互相比較
n係寶箱ge實際值,5.5n係寶箱ge期望值,根本唔可以互相比較
就好似6合彩ge期望值大約係4~5蚊,而頭獎ge實際值係幾千萬,你會唔會單單因為實際值有幾千萬遠遠大於4~5蚊而買6合彩?

再舉多個例說明
稍為有d數學知識ge人都知道,百家樂ge期望值係負數
即係話d賭徒玩夠佢一萬舖、十萬舖、甚至幾億舖百家樂之後,班賭徒平均而言係會輸錢,賭場平均而言係會賺錢........呢個就係賭場可以營運下去唔會執笠唔會輸錢俾賭徒ge原因
既然個期望值係負,咁點解仲會有人願意入去玩? 仲有我夠膽同你講,即使係修讀過概率,明白呢個道理ge大學生,都一樣會有人願意入去玩,點解?

因為「期望值ge多少」同「make decision」根本係兩回事
我再舉例,只要運用簡單ge數學計算,就會知道六合彩ge期望值係4~5蚊
即係話,長遠o黎計,六合彩ge平均回報係4~5蚊

咩意思? 即係話,如果你不停買六合彩,買夠佢一萬次、一億次、甚至一兆次,將你當中所獲得ge派彩獎金拉平均,你會發現你平均每買一次,你會有大約4~5蚊ge派彩

但你每買一次六合彩要駛幾多錢? 要駛大約20蚊
你平均每次有4~5蚊ge派彩金,但你每次要駛20蚊去買一張飛,即係你根本上平均每次都會蝕15~16蚊,咁點解你仲要買六合彩?

所以我先至話「期望值」與「決策」係兩回事
你花20蚊買一張六合彩飛,係一項決策,與期望值無關
你見倒平均會蝕15~16蚊你仍然願意買六合彩,咁只不過代表你係一個風險愛好者(risk lover)而已,冇其他意思
而如果你唔願意,咁亦只不過代表你係一個風險規避者(risk aversed person)而已,冇其他意思
仲有一種情況係,如果期望值為零你都願意買,就代表你係一個風險中立者(risk neutral person)
但唔理你係risk aversed、neutral 定 lover,呢d都係取決於你ge性格同價值觀,你ge性格價值觀唔會對於一場期望值為-15~-16 ge遊戲產生影響

明未?

raymond008375
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raymond008375 於 星期四 五月 13, 2010 9:41 pm


至於monty hall problem,佢同寶箱case根本係兩回事,原因係monty hall problem個主持人提供o左一項資訊︰佢所打開ge o個一隻門冇大獎
寶箱case係好純粹ge「斷估冇痛苦」純運氣,但monty hall problem唔係,至少佢打開o左隻門之後,個觀眾起碼可以好肯定知道3隻門之中邊一隻係假的
所以呢兩個遊戲根本唔一樣

raymond008375
訪客
 

Re: [邏輯]兩寶箱悖論?

訪客 於 星期四 九月 22, 2011 4:11 pm


[quote="asmobia"]
小朋友A接著說:”所以寶箱乙不是 10n 元,就是 0.1n 元。”
問題三:請問小朋友A可不可以這樣說?

(10n + 0.1n)/2 = 5.5n
小朋友A接著說:”5.5n > n,所以乙寶箱比較好。”
問題四:請問小朋友A可不可以這樣說?

[/quote]

這二步的假設有問題

首先是題目給予的二個箱子雖然號稱相差10倍, 看起來可以假設成(n, 10n)以及(n, 0,1n)

但問題是二種情形下甲箱的金額並不相同

舉個例子, 若二箱子分別有10元以及1元
那麼乙箱是甲箱10倍時, 甲箱是1元;
而乙箱是甲箱0.1倍時, 甲箱是10元.

故在情形1之下, 你由1元換成10元, 而情形二則由10元換成1元, 換到乙箱的期望值仍為(10+1)/2, 跟一開始選甲箱期望值相同
也就是你應該假設為(n, 10n)以及(m, 0.1m) 二者初始值(也就是甲箱) 的金錢並不相同


當然, 若你執意要假設甲箱為n元, 然後說因為我並不知道二箱子總金額多少, 所以假設乙可多可少

則這樣假設勉強沒有問題; 此時則變成最後一步期望值的假設出了問題.

首先你假設甲箱為n元, 乙箱為10n元時, 此時二箱總金額是11n, 期望值則為5.5n
而假設甲箱為n元, 乙箱為0.1n元時, 此時二箱總金額為1.1n, 期望值則為0.55n

也就是說, 你假設的乙, 是分屬二種不同情形. 至於哪一種, 則是在主持人藏好鈔票就決定了, 所以是全有全無, 不是一半一半

再用上述例子, 假設甲箱其實有10元, 那麼乙箱藏有100元或1元沒錯; 但如果乙箱內是100元的話, 那麼如果你再選一次, 而且這次甲箱又是10元的話, 那麼你再換乙箱一定是100元
不可能換到1元, 既然換不到, 算期望值是無意義的

訪客

 






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