thuy 寫到:
11. 有一位菜販很不老實,他有一架動過手腳的天平。這架天平的兩臂不等長,當他向農民們購買產品時,就把產品放在天平臂長較短這一側,這樣秤起來較輕,他可以付少一些錢;當他銷售貨物時,就把貨物放在天平臂長較長的一側,這樣秤起來較重,他可以收入較多的錢。用上述手法,有一次他向農民購買6袋蕃茄1袋花生,秤出總重量為<xml><st1>25公斤</st1>,而他到市場販賣時,6袋蕃茄秤出的總重量為<st1>24公斤</st1>,1袋花生秤出的總重量為<st1>12公斤</st1>。請問1袋花生真實的重量為多少公斤?
天秤秤東西的原理是利用桿子平衡時會有力矩和=0的特性
τ(力矩)就是F(垂直桿子的方向的力)乘以 L(施力點到支點的距離) , τ=FL
其中要注意τ力矩有順時針與逆時針兩種 , 順跟逆可分別定義為正(+)跟負(-) , 方向相反會被抵消
為了方便解說以下的順時針力矩假定為正力矩
天秤這種翹翹板結構就是左邊放一個東西 , 右邊也放一個東西 , 中間是支點 , 兩邊同時受到地球重力引響而有股向下的力
桿子是剛性物也就是很硬不會彎
1.當左邊距離支點L
1的地方放了質量M的東西 , 受重力影響有股向下的力 F
1=Mg , 產生的力矩τ
1=F
1L
1=MgL
1(這裡是逆時針的力矩)(-)
2.右邊距離支點L
2的地方放了質量m的東西 , 受重力影響有股向下的力 F
2=mg , 產生的力矩τ
2=F
2L
2=mgL
2(這裡是順時針的力矩)(+)
力矩是可以加減的
對此時左右各放了M與m的天秤系統來說
他的力矩和=τ
1+τ
2= - MgL
1 + mgL
2 = g*(mL
2 - ML
1)
如果此時剛好天秤的桿子是水平靜止不動的
那就代表這系統的力矩和=0
也就是 g*(mL
2 - ML
1)=0
等號兩邊都除以重力加速 g , 整理一下
mL
2=ML
1
(M/m) = (L
2/L
1)
我再用中文翻譯一下這句數學式子的物理意義
(左邊的質量)比上(右邊的質量) 等於 (右邊的長度)比上(左邊的長度)
質量與長度是反比關係
正常的天秤支點在桿子正中央 , 物品到支點的距離=砝碼到支點的距離 , 也就是 L
1=L
2
也就是(L
2/L
1)=1
這代表在式子(M/m) = (L
2/L
1)中 , 左右都等於1
(M/m)=1
M=m
這就是天秤配上標準重量的砝碼測量未知重量的物品的原理
將想要測量的未知重量物品放在左邊 (就是M)
將已知重量的砝碼放在右邊 (就是m)
持續的更換砝碼直到你觀察到天秤達到水平靜止不動時
表示M=m
就測量出M的重量了
今天這題L1與L2不相同怎辦
同樣把平衡時力矩和會等於零的式子寫出來就很清楚了
同樣會符合這個式子:
(M/m) = (L
2/L
1)
(左邊的質量)比上(右邊的質量) 等於 (右邊的長度)比上(左邊的長度)
不管他L
1跟L
2是多少
題中農夫從頭到尾都是拿同樣的一個天秤測量東西吧
這表示L
2與L
1其實是定值
(L
2/L
1)這個數值其實是固定不變的
(M/m) = (L
2/L
1) = 定值 = 固定不變
(M
1/m
1) = (M
2/m
2) = (M
3/m
3) = ...
中文翻譯就是
(第一次左邊重量比上右邊重量) = (第二次左邊重量比上右邊重量) = (第三次左邊重量比上右邊重量) = ...
所以就是這樣啦↓
設花生重x , 6袋番茄重y
(x+y)/25=24/y=12/x
所以x:y=1:2
令y=2x
(x+2x)/25=12/x
x=10