任一個 2 *2 的正方形,其中隨意取出一個格子,用 L 型的東西將它填滿.
證明如何表達出邏輯之描述及說明:
說明圖:(在附加檔案)
請證明...
[數學]離散數學邏輯證明題(急)..."更正版"
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[數學]離散數學邏輯證明題(急)..."更正版"
由 訪客 於 星期四 三月 20, 2008 12:35 am
n n
任一個 2 *2 的正方形,其中隨意取出一個格子,用 L 型的東西將它填滿.
證明如何表達出邏輯之描述及說明:
說明圖:(在附加檔案)
請證明...
任一個 2 *2 的正方形,其中隨意取出一個格子,用 L 型的東西將它填滿.
證明如何表達出邏輯之描述及說明:
說明圖:(在附加檔案)
請證明...
由 G@ry 於 星期四 三月 20, 2008 2:56 am
你指的是2nx2n的方格嗎？(rich text editor的功能可以善用一下唷)
設Ｘ為該格，雙綫的為L...
n=1：
╔═
║X
n=2：
由於4x4為2x2的2x2倍，而所有2n+1x2n+1亦皆為2nx2n的2x2倍，故能十字地分為2nx2n的等4分， 如：
4x4分為4個2x2；
而X(紅色)必定是座落於4個2x2的其中一個當中，我們把另外三個2x2本來有的X(紅色L)全放在中間的十字位置，便能多用一個L(紅色)來填滿，如下：
推而廣之，n+1能還原至n來作，以下為一例：
故assume P(k), P(k+1)便能得證，故by M.I., 命題得證。
若不明白的話，以下為詳圖：
設Ｘ為該格，雙綫的為L...
n=1：
╔═
║X
n=2：
由於4x4為2x2的2x2倍，而所有2n+1x2n+1亦皆為2nx2n的2x2倍，故能十字地分為2nx2n的等4分， 如：
4x4分為4個2x2；
而X(紅色)必定是座落於4個2x2的其中一個當中，我們把另外三個2x2本來有的X(紅色L)全放在中間的十字位置，便能多用一個L(紅色)來填滿，如下：
推而廣之，n+1能還原至n來作，以下為一例：
故assume P(k), P(k+1)便能得證，故by M.I., 命題得證。
若不明白的話，以下為詳圖：
☆子 是也
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G@ry - 版 主
- 文章: 597
- 註冊時間: 2007-03-01
- 來自: 香港
由 asmobia 於 星期四 三月 20, 2008 5:38 am
原命題：
任一個 2ｎ*2ｎ 的正方形（ｎ為正整數），其中隨意去掉一個格子後，可以用 L 型的東西將它填滿。
使用數學歸納法證明原命題：
１、當ｎ＝１時，不證自明。
２、假設ｎ＝ｋ時，原命題成立。
３、則當ｎ＝ｋ＋１時，我們可以將2ｋ＋１*2ｋ＋１ 的正方形拆成四個2ｋ*2ｋ 的正方形，
這四個正方形，去掉隨意的一格後，都能用Ｌ型的東西填滿。
將第一象限的正方形的左下角，第二象限的正方形的右下角，第三象限的正方形的右上角去掉後，可以用Ｌ型填滿；
而去掉的這三格，正好是一個Ｌ型；所以說就算不去掉，也能被Ｌ型填滿。換句話說，第一、第二、第三象限的三個小正方形總體可以被Ｌ型填滿。
接下來我們一旦將第四象限的正方形的任意一格去掉，我們就可以用Ｌ型填滿2ｋ＋１*2ｋ＋１ 的大正方形。
由於2ｋ＋１*2ｋ＋１ 的正方形是一個Ｘ軸與Ｙ軸對稱的圖形，所以我們可以依照上法，任取三個象限的小正方形，用Ｌ型填滿，然後去掉第四個象限的小正方形裡的一格，再用Ｌ型填滿。總言之，我們可以去掉隨依的一格後，填滿2ｋ＋１*2ｋ＋１ 的正方形。
故第二條的假設為真，原命題得證。
任一個 2ｎ*2ｎ 的正方形（ｎ為正整數），其中隨意去掉一個格子後，可以用 L 型的東西將它填滿。
使用數學歸納法證明原命題：
１、當ｎ＝１時，不證自明。
２、假設ｎ＝ｋ時，原命題成立。
３、則當ｎ＝ｋ＋１時，我們可以將2ｋ＋１*2ｋ＋１ 的正方形拆成四個2ｋ*2ｋ 的正方形，
這四個正方形，去掉隨意的一格後，都能用Ｌ型的東西填滿。
將第一象限的正方形的左下角，第二象限的正方形的右下角，第三象限的正方形的右上角去掉後，可以用Ｌ型填滿；
而去掉的這三格，正好是一個Ｌ型；所以說就算不去掉，也能被Ｌ型填滿。換句話說，第一、第二、第三象限的三個小正方形總體可以被Ｌ型填滿。
接下來我們一旦將第四象限的正方形的任意一格去掉，我們就可以用Ｌ型填滿2ｋ＋１*2ｋ＋１ 的大正方形。
由於2ｋ＋１*2ｋ＋１ 的正方形是一個Ｘ軸與Ｙ軸對稱的圖形，所以我們可以依照上法，任取三個象限的小正方形，用Ｌ型填滿，然後去掉第四個象限的小正方形裡的一格，再用Ｌ型填滿。總言之，我們可以去掉隨依的一格後，填滿2ｋ＋１*2ｋ＋１ 的正方形。
故第二條的假設為真，原命題得證。
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asmobia - 實習生
- 文章: 95
- 註冊時間: 2007-02-11
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