[數學]對稱環計數

[數學]對稱環計數

qeypour 於 星期一 九月 03, 2007 3:00 pm


aaaabbbbcccc可排出幾個對稱環?
對稱軸兩端可空無一物或僅一端有物或兩端皆有物

qeypour
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fy 於 星期一 九月 03, 2007 9:25 pm


抱歉
 
何謂對稱環?
 
可否舉一例

fy
訪客
 

qeypour 於 星期一 九月 03, 2007 11:36 pm


以aabb為例,對稱環為aabb或abab
,前者對稱軸兩端空無一物,後者對稱軸兩端皆為a

qeypour
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G@ry 於 星期二 九月 04, 2007 2:28 am


qeypour 寫到:
以aabb為例,對稱環為aabb或abab
,前者對稱軸兩端空無一物,後者對稱軸兩端皆為a

這樣說來原來以為明白的變得不明白了...
abab的對稱軸為abab ??!!??
如何對稱?
☆子 是也

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qeypour 於 星期二 九月 04, 2007 6:22 am


G@ry 寫到:
qeypour 寫到:
以aabb為例,對稱環為aabb或abab
,前者對稱軸兩端空無一物,後者對稱軸兩端皆為a

這樣說來原來以為明白的變得不明白了...
abab的對稱軸為abab ??!!??
如何對稱?
以圓代表環,以圓之任一直徑為對稱軸,在軸之兩端放a,再在軸之兩側對稱放b,即形成abab之對稱環

qeypour
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G@ry 於 星期二 九月 04, 2007 8:55 am


qeypour 寫到:
G@ry 寫到:
qeypour 寫到:
以aabb為例,對稱環為aabb或abab
,前者對稱軸兩端空無一物,後者對稱軸兩端皆為a

這樣說來原來以為明白的變得不明白了...
abab的對稱軸為abab ??!!??
如何對稱?
以圓代表環,以圓之任一直徑為對稱軸,在軸之兩端放a,再在軸之兩側對稱放b,即形成abab之對稱環

了解,要的是鏡像對稱,不是旋轉對稱,對嗎?
☆子 是也

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kwhhyk 於 星期五 九月 07, 2007 9:58 am


是不是要用盡所有abc ?
a <- 可以是其中一個答案嗎?

kwhhyk
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G@ry 於 星期六 九月 08, 2007 2:26 pm


qeypour 寫到:
G@ry 寫到:
qeypour 寫到:
以aabb為例,對稱環為aabb或abab
,前者對稱軸兩端空無一物,後者對稱軸兩端皆為a

這樣說來原來以為明白的變得不明白了...
abab的對稱軸為abab ??!!??
如何對稱?
以圓代表環,以圓之任一直徑為對稱軸,在軸之兩端放a,再在軸之兩側對稱放b,即形成abab之對稱環

了解。

若要用盡所有a,b,c,則有以下情況:
先設A = a&a = a pair, B = b&b, C = c&c

對稱軸兩端空無一物
故共有2A2B2C
先計算2A位置,共有 2C6 = 15種:去除鏡像者剩下9種:
AA____、A_A___、A__A__、A___A_、A____A、
_AA___、_A_A__、_A__A_及__AA__;
當中A____A、_A__A_及__AA__為單邊對稱,故後面再處理;
剩下的6種的空位能供給2B2C所有的組合可能 =  2C4 = 6種,故小計有6x6=36種;
_A__A_: 由於自身鏡像對稱,亦自身與自身旋轉對稱(左/右移3個位),故所有空位上的BC組合:
BBCC || CCBB ; BCBC || CBCB ; BCCB --> CBBC;
故_A__A_的對稱環只有3種;
A____A及__AA__:兩者自身鏡像對稱,故:BBCC || CCBB ; BCBC || CBCB;
而A____A與__AA__旋轉對稱:ABCCBA --> CBAABC;ACBBCA --> BCAACB;
兩者合共6x2-2x2-2 = 6種;
對稱軸兩端空無一物的對稱環共有36+3+6=45種;


對稱軸僅一端有物:
由於物件數目為12=雙數,故不可能僅一端有物;


對稱軸兩端皆有物:
兩端必需為相同物,若兩端為不同物,則剩下的兩樣不同物不能與其他物件組成一對,故不能用盡所有a,b,c...
兩端為a, 剩下1A2B2C:
A的位置共有:A____、_A___及__A__ 3種;
當中__A__由於鏡像對稱,故 BBCC || CCBB;BCBC || CBCB;
__A__亦為旋轉對稱: BCCB --> CBBC;
故小計 3 x 2C4 -3 = 3x6-3 = 15種;
兩端為b、c者與a相同,故共有3x15=45種;

總計 = 45+45 = 90種。



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G@ry 於 星期四 九月 13, 2007 2:46 pm


這是你要的答案嗎?
☆子 是也

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qeypour 於 星期五 九月 14, 2007 12:28 am


G@ry 寫到:這是你要的答案嗎?

是的,那如果26種字母,a有2個,b有4個,c有6個,.........,z有52個,

排成圓環,對稱環共幾種?


qeypour
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