[數學]幾何題..(89)

[數學]幾何題..(89)

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期一 七月 09, 2007 10:48 pm


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如圖
在三角形ABC中
AB=AC
有一個圓O內切於三角形ABC外接圓
並分別與AB、AC相切於P、Q
求證:PQ中點I恰為三角形ABC內心
懂得讓我流淚的人 給的感動一定是最深〞

http://blog.pixnet.net/ej0cl6
↑這是最近成立的數學BLOG
 裡面有些幾何的東西
 大家可以參觀看看呢

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
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宇智波鼬 於 星期二 七月 10, 2007 10:39 pm


過D作圓O的切線,分別交AB,AC於M,N.
則三角形ABC與AMN相似.
兩個三角形的是由一定比例做相似變化r得到
即,r=AB/AM
因此只要證明AI/AO=AB/AM,點I就變化成點O,且點O為AMN內心,
所以I會是ABC內心.
然而,
AI/AP=AD/AM=AP/AO,AD^2/AM^2=AI/AO,
AD/AM=AB/AD=>AD^2=AB*AM
所以,AI/AO=AD^2/AM^2=AB*AM/AM^2=AB/AM
根據上面的討論,命題得證.

另外,這道題目為IMO考古題,當AB不等於AC時結論亦成立,留給大家證明.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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