[數學]幾何題..(84)

[數學]幾何題..(84)

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期日 六月 10, 2007 10:26 pm


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如圖
F,J,O是三角形ABC的三個旁心
圓F、圓J、圓O分別切三角形ABC三邊於R,Q,P
試證明AR、BP、CQ三線共點

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
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guevara4900 於 星期一 六月 11, 2007 11:14 pm


圓F切∠A的二邊和BC,所以BR=CR,故AR為∠A中線
同理,BP為∠B的中線,CQ為∠C的中線
三角形三中線交於一點,此點為重心.
吾有知乎哉?無知也!
有鄙夫問於我,空空如也,我叩其兩端而竭焉!

guevara4900
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G@ry 於 星期二 六月 12, 2007 12:16 am


guevara4900 寫到:圓F切∠A的二邊和BC,所以BR=CR,故AR為∠A中線
同理,BP為∠B的中線,CQ為∠C的中線
三角形三中線交於一點,此點為重心.

沒有這麼簡單...ARF並非直線, BR=/=CR, 但AB+BR=AC+CR;

中間的交點為Nagel Point...
只想到用Ceva's theorem 證....但若要再證Ceva's theorem就比較麻煩...

☆子 是也

G@ry
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G@ry 於 星期三 六月 13, 2007 12:23 am


G@ry 寫到:
guevara4900 寫到:圓F切∠A的二邊和BC,所以BR=CR,故AR為∠A中線
同理,BP為∠B的中線,CQ為∠C的中線
三角形三中線交於一點,此點為重心.

沒有這麼簡單...ARF並非直線, BR=/=CR, 但AB+BR=AC+CR;

中間的交點為Nagel Point...
只想到用Ceva's theorem 證....但若要再證Ceva's theorem就比較麻煩...


設BC為a, AC為b, AB為c:
AB+BR=AC+CR=(a+b+c)/2 => BR=(a+b-c)/2, CR=(a+c-b)/2;
同理 AP=(a+b-c)/2=BR,  AQ=(a+c=b)/2=CR, BQ=CP=(b+c-a)/2;
據Ceva's theorem:
Given a triangle ABC, and points D, E, and F that lie on lines BC, CA, and AB respectively, the theorem states that lines AD, BE and CF are concurrent if and only if


(AQxBRxCP)/(QBxRCxPA)=(AQxBRxCP)/(CPxAQxBR)=1
∴AR, BP, CQ are concurrent.

☆子 是也

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