[幾何]幾何競賽題

[幾何]幾何競賽題

宇智波鼬 於 星期日 六月 03, 2007 10:05 am


應幻星要求,題目用英文敘述,練數學同時也練英文^^

1.Let P be a point inside the triangle ABC such thatAB=BC, ∠ABC=80° ,∠PAC=40° and ∠ACP=30°. Find ∠BPC.

2.D and E are points on sides BC and AC of a triangle ABC such that AD and BE are angle bisectors of the triangle ABC. If DE bisects ∠ADC, find ∠A.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉

Re: [幾何]幾何競賽題

G@ry 於 星期日 六月 03, 2007 12:31 pm


宇智波鼬 寫到:應幻星要求,題目用英文敘述,練數學同時也練英文^^

1.Let P be a point inside the triangle ABC such thatAB=BC, ∠ABC=80° ,∠PAC=40° and ∠ACP=30°. Find ∠BPC.

那...用圖+中文回答可以嗎?...
1.
image file name: 2k129f596605.png
BAC=BCA=50oCAP=40o,故AP之伸延線⊥BC;
設M點於PC上使PAB=PAM=10o;BM為ABC之角平分線;
再以A,B,C點之各已知角算出M點之各角度數,得上圖;
於ΔAMB中,AP為A角平分線,MP為M角平分線,
故P為ΔAMB之內心,MBP=ABP=40o/2=20oBPC=BMC-MBP=100o
☆子 是也

G@ry
版 主
版 主
 
文章: 597
註冊時間: 2007-03-01
來自: 香港

宇智波鼬 於 星期日 六月 03, 2007 10:14 pm


3. In a trapezoid ABCD the sides BC and AD are parallel, AC=BC+AD, and the angle between the diagonals is equal to 60 degrees. Prove that AB=CD.

(剛剛出完才發現這題好像是秒殺題= =)
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉

gkw0824usa 於 星期一 六月 04, 2007 6:56 pm


 
image file name: 2k18a9bd426e.jpg
 
We draw a parallelogram BCKD using BD as a side
AK=AD+KD=AD+BC=AC therefore, ACK is an isosceles triangle
=>Let angle ACK=angle AKC= x 
2x+180-x+120=360  =>x=60°
Hence we can find that both BOC and DOA are equilateral triangle
 As a result , triangle BOA is congruent to COD
we can have a result which is BA=CD
 
Q.E.D.
 
I thought the problem you post were hard, so I took it to school to solve it.
Never did I know it was that easy! I thought there was a trick!
Atra esternī ono thelduin
Mor'ranr līfa unin hjarta onr
Un du evarīnya ono varda.


May good fortune rule over you
Peace live in your heart
And the stars watch over you.

gkw0824usa
研究生
研究生
 
文章: 114
註冊時間: 2005-07-06
來自: Univesity of Texas at Austin

宇智波鼬 於 星期一 六月 04, 2007 8:05 pm


4.A triangle ABC has base AB = 1 and the altitude from C length h. What is the maximum possible product of the three altitudes? For which triangles is it achieved?

(如果有人看不懂,要中譯的話跟我說....)
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期一 六月 04, 2007 10:46 pm


2.D and E are points on sides BC and AC of a triangle ABC such that AD and BE are angle bisectors of the triangle ABC. If DE bisects ∠ADC, find ∠A.

我只會用中文回答= =

如圖
F是三角形ABC的內心
G是三角形ACD的內心
1/2*∠BAD=∠DAG=∠GAC=∠BED

因∠FEG=∠FAG
所以AFEG四點共圓→∠GFE=∠GAE=∠GEA=4/1*∠A
∠BFC=90度+1/2*∠A=180度-1/4*∠A
3/4*∠A=90度
∠A=120度

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
教 授
教 授
 
文章: 1068
註冊時間: 2005-08-24

宇智波鼬 於 星期一 六月 04, 2007 11:12 pm


當然,用中文回答就可以囉^^
不過如果你要用英文也OK, gkw0824usa大大的英文果然了得!
前3題都是正解,第4題是較高難度.

5.ABC is a triangle with incenter I. Show that the circumcenters of IAB, IBC, ICA lie on a circle whose center is the circumcenter of ABC.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期六 六月 09, 2007 10:05 pm


5.ABC is a triangle with incenter I. Show that the circumcenters of IAB, IBC, ICA lie on a circle whose center is the circumcenter of ABC.

設三角形IAB,IBC,IAC的外心分別為P,Q,R,三角形ABC外心為O

∠BIC=90度+∠A/2
∠BQC=360-2∠BIC=360-180-∠A=180-∠A
∠BOC=2∠A

四邊形BOCQ中
BO=CO
∠BOC=2∠BQC
得B,O,C,Q共圓
同理即可得P,Q,R,A,B,C共圓
即三角形ABC的外心和三角形PQR的外心是同一個
得證

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
教 授
教 授
 
文章: 1068
註冊時間: 2005-08-24

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期六 六月 09, 2007 11:53 pm


4.A triangle ABC has base AB = 1 and the altitude from C length h. What is the maximum possible product of the three altitudes? For which triangles is it achieved?

設AB=c,BC=a,AC=b
分成h大於1和h小於等於1來討論

當h小於等於1
三個高分別為sinA,sinB,h
三個底分別為1,a,b
當三底相乘(a*b*1)有最小值時三高相乘有最大值
h為定值→ab*sinC為定值
sinC值越大ab越小
故當∠C為90度時三高相乘有最大值
此時sinA=a,sinB=b且a垂直b
故三高相乘最大值為a*b*h=2h^2

當h大於1
也是要求ab最小值
但此時∠C有最大值的時候AC會等於BC
即h為AB的中垂線
再利用三角形相似
可得到三高相乘為
h*h/(h^2+0.5^2)^1/2*h/(h^2+0.5^2)^1/2
=h^3/(h^2+0.5^2)

所以本題答案有兩個
當h小於等於1時,三高相乘最大值為2h^2,此時三角形ABC為直角三角形
當h大於1時,三高相乘最大值為h^3/(h^2+0.5^2),此時三角形ABC為等腰三角形

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
教 授
教 授
 
文章: 1068
註冊時間: 2005-08-24

宇智波鼬 於 星期日 六月 10, 2007 7:47 pm


6.The sides AB, BC, CD and DA of the quadrilateral ABCD are respectively  equal to the sides A'B', B'C', C'D' andD'A' of the quadrilateral A'B'C'D' and it is known that AB∥CD and B'C'∥D'A'.
Prove that both quadrilaterals are parallelograms.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉

G@ry 於 星期三 六月 13, 2007 12:59 am


宇智波鼬 寫到:6.The sides AB, BC, CD and DA of the quadrilateral ABCD are respectively  equal to the sides A'B', B'C', C'D' andD'A' of the quadrilateral A'B'C'D' and it is known that AB∥CD and B'C'∥D'A'.
Prove that both quadrilaterals are parallelograms.

不能證:
反例:
image file name: 2kb43286987e.png
☆子 是也

G@ry
版 主
版 主
 
文章: 597
註冊時間: 2007-03-01
來自: 香港

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期三 六月 13, 2007 10:30 pm


TO:G@ry

恩..左邊的圖算是四邊形嗎?

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
教 授
教 授
 
文章: 1068
註冊時間: 2005-08-24

G@ry 於 星期五 六月 15, 2007 12:38 am


☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 寫到:TO:G@ry

恩..左邊的圖算是四邊形嗎?

應該算是:

英:http://en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral
中:http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9B%E9%82%8A%E5%BD%A2

http://www.mathsisfun.com/quadrilaterals.html

☆子 是也

G@ry
版 主
版 主
 
文章: 597
註冊時間: 2007-03-01
來自: 香港

宇智波鼬 於 星期五 六月 15, 2007 1:23 pm


請大大在看清楚題目...
這道題目既然能成為環球競賽題,必定有他的嚴謹性和難度.
俄羅斯科學院出錯的機率幾乎是0.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉

宇智波鼬 於 星期六 六月 16, 2007 10:58 pm


第6題改天再公佈答案...

7.The square PQRS is placed inside the square ABCD in such a way that the segments AP, BQ, CR and DS intersect neither each other nor the square PQRS. Prove that the sum of areas of quadrilaterals ABQP and CDSR is equal to the sum of the areas of quadrilaterals BCRQ and DAPS.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉






平面&空間幾何