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1.已知直線ax+by+c=0中,a,b,c取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中三個不同元素,並設該直線的傾斜角為銳角,那麼這樣的直線條數是多少?

2.是否存在(1)4個;(2)5個不同的正整數,他們中任意三個數之和都是質數?

3.設S={1,2,3,...,2005},M是S中的一個子集且M中任意兩數之差都不等於5或8,問M中最多有多少個元素?

1.由於斜角為銳角(m=-a/b)，所以a、b異號
設a>0，b<0

當c=0時
a有C(3,1)種取法數，b有C(3,1)種取法數
但(a,b)=(1,-1),(2,-2),(3,-3),斜率相等
所以共有C(3,1)*C(3,1)-2=7種取法數

當c≠0時
a有C(3,1)種取法數，b有C(3,1)種取法數,c有C(4,1)種取法數
所以共有C(3,1)*C(3,1)*C(4,1)=36種取法數

所以共有36+7=43種取法數，即43條直線

宇智波鼬 寫到:2.是否存在(1)4個;(2)5個不同的正整數,他們中任意三個數之和都是質數?

舉例可以嗎？...要寫出證明比較複雜和難...方法倒可以寫出來....
2(1):  最小的數個組合：
19為最大的質數：{1,3,7,9} 得出 11,13,17,19;
23為最大的質數：{1,5,7,11} 得出 13,17,19,23;

31為最大的質數：{1,3,9,19} 得出 13,23,29,31;  {1,3,13,15} 得出 17,19,29,31;
　　　　　　　　{3,5,11,15} 得出 19,23,29,31;
37為最大的質數：{1,7,9,21} 得出 17,29,31,37;  {3,9,11,17} 得出 23,29,31,37;

41為最大的質數：{1,5,11,25} 得出 17,31,37,41;  {1,5,13,23} 得出 19,29,37,41;
　　　　　　　　{3,7,13,21} 得出 23,31,37,41;  {5,9,15,17} 得出 29,31,37,41;


43為最大的質數：{1,3,7,33} 得出 11,37,41,43;  {1,3,13,27} 得出 17,31,41,43;
　　　　　　　　{1,3,15,25} 得出 19,29,41,43;  {1,7,15,21} 得出 23,29,37,43;
　　　　　　　　{3,5,9,29} 得出 17,37,41,43;  {3,5,15,23} 得出 23,31,41,43;
　　　　　　　　{5,7,11,25} 得出 23,37,41,43;  {5,7,17,19} 得出 29,31,41,43;
　　　　　　　　{7,9,13,21} 得出 29,37,41,43;
...



2(2): 待續...

第1題完全正確! GFIF果然厲害!

第2題其實沒有那麼難喔!
不用想的那麼複雜,試試看利用數論題中最常用的某種原理.
(我的解法大概就是用那個)

宇智波鼬 寫到:3.設S={1,2,3,...,2005},M是S中的一個子集且M中任意兩數之差都不等於5或8,問M中最多有多少個元素?

小弟不懂得很有系統/很有格式地解答，但留意到有以下的情況，設A,B⊂S：
設A中任意2數之差都只不等於5，則最多有2005\(2*5)*5+min(2005%(5*2),5)=1005;
設B中任意2數之差都只不等於8，則最多有2005\(2*8)*8+min(2005%(8*2),8)=1005;

M中任意兩數之差都不等於5或8，則要令M為A∩B有最多的元素，即盡量令每一個元素與最多的其他元素有共差為5及8，亦即盡量保留與每一個元素有5+8=13差的其他元素：
e.g. 20,33兩元素與其中間兩數25,28的差為5與8，故若保留20則33也要盡量保留；
=> 令M為每13連續數一循環的數集，而每一循環中最多保留一半的元素，(很簡單，e.g. A={1,2,3,4,5,11,12,...}, 1-10中由於每個元素的存在也令另一個數字不能成為元素，故極其量每個循環(A的循環是2*5=10)中只有一半的數字能成為元素)
即每13個連續數中最多得出13\2=6個元素，其中最多只能有連續(8-5)-1=2個連續數；

若有連續3個或以上(最多5個)數字為其元素，則從實際情況得出最多每13個連續數中只能取其中5個為元素，故若要取6個元素則得出以下格式(能左右平移或鏡像反轉)：
 x   x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 x+7 x+8 x+9 x+10 x+11 x+12
Ｏ　  Ｏ　 Ｘ　  Ｏ　 Ｏ　 Ｘ　  Ｘ　 Ｏ　  Ｘ　 Ｘ　  Ｏ　 Ｘ　  Ｘ
e.g. ...,20,21,23,24,27,30,33,34,36,37,40,43,46,47,49,50,53,56,...
2005\13=154, 2005%13=3; 由上述格式看出多出的3個數位中最多只能取2個元素：
最多元素數目為154*6+2=926元素(共有三種不計鏡像(2005+1-元素)的排列可能)：
1,2,4,5,8,11, 14,15,17,...,13n+1,13n+2,13n+4,13n+5,13n+8,13n+11,..., 2000,2003,2004;
1,3,4,7,10,13, 14,16,...,13n+1,13n+3,13n+4,13n+7,13n+10,13n+13,...,2002,2003,2005;
1,2,5,8,11,12, 14, ..., 13n+1,13n+2,13n+5,13n+8,13n+11,13n+12,..., 2001,2003,2004;

三題都是正解!
各位大大實力果然不錯^^

4.今有7個男孩,其中每個人在其餘6人中都至少有3個親兄弟,求證這7個男孩全是親兄弟.

5.在面積為1的三角形ABC內任意放入7個點,其中任意3點不共線.證明:這7個點中必有3個點,以他們為頂點的三角形面積<=1/4.

宇智波鼬 寫到:三題都是正解!
各位大大實力果然不錯^^

4.今有7個男孩,其中每個人在其餘6人中都至少有3個親兄弟,求證這7個男孩全是親兄弟.

5.在面積為1的三角形ABC內任意放入7個點,其中任意3點不共線.證明:這7個點中必有3個點,以他們為頂點的三角形面積<=1/4.

4. 設7人為A,B,C,D,E,F,G，設A的3個親兄弟為B,C,D：
若E有3個親兄弟，則除F,G外至少還有一個為A/B/C/D => 至少A,B,C,D,E為親兄弟。
F,G為相同情況，故7人皆為親兄弟。

5. 不用7點吧...5點已經必定有三角形面積≤1/5：

要令所有點組成的三角形面積盡量大，當中3點必為ABC的頂點(或與頂點接近無限近的位置)；
另加兩點能做出共10個三角形；
其中有5個三角形(如圖)[註：可以是三角形4,5沿綠線互換分割，有兩種情況] 不重疊地分割ABC的面積。
那麼，當中最小的三角形最大為ABC/5的面積=1/5；
若用上7點必定有三角形≤1/4嘛...^^

(不是很嚴謹，請見諒及請指教)  m(_ _)m