[問題]骰子問題

[問題]骰子問題

tangpakchiu 於 星期四 四月 05, 2007 4:47 pm


想問問一粒骰子有多少種展開的方法???應如何思考??
 

tangpakchiu
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Re: [問題]骰子問題

G@ry 於 星期四 四月 05, 2007 9:52 pm


tangpakchiu 寫到:
想問問一粒骰子有多少種展開的方法???應如何思考??
 

你是否想問一個正立方體有多少種把每個面展開,每個面與其他面至少有一邊連著而形成不同的一塊平面的方法?
有沒有限制一定是十字架的展開法?
還是十一種展開法也行?...

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

注意這些展開法某些不對稱的可以反轉做出不同面向的展法。
由於骰子的數字只出現在外面的表面,故作法不是6*11*2般簡單...
你自行再放上骰字數字數吧...^^

若你要知道為何正立方體展開的方法有11種,...再問吧....到時小弟再補上闡釋詳圖...
☆子 是也

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[問題]我有問題

tangpakchiu 於 星期四 四月 05, 2007 10:44 pm


「若你要知道為何正立方體展開的方法有11種」,
 
對的,我是想知道為何有11種....
 

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Re: [問題]我有問題

G@ry 於 星期五 四月 06, 2007 6:36 am


tangpakchiu 寫到:
「若你要知道為何正立方體展開的方法有11種」,
 
對的,我是想知道為何有11種....
 

其實要數出共有11種並不難,以下舉出兩個方法:
1. 看這圖吧(畫的很苦啊!!!):
image file name: 2k77f9762807.gif
圖中紅線代表必會分開的接線;綠色代表設定了不會分開的接線;紫紅色為推理出不會分開的接線;各種藍色為不同組合下或會斷的接線。

這圖從a入手:首先,要展開立方體必定有一面/正方形為三邊必需分開的(圖a的立方體的頂)。
若所有正方形也有多於一邊與其他正方形接連,則六個正方形的組合的平面會只能像b般。但b不能形成一正立方體,故此得證。
圖a表示,我們"打開"了立方體的"頂",而且將從立方體的四個側面接線的分開與否的組合入手。

若a中所有藍線的接口也不能分開,則此立方體不能展開成一平面,故先從只分開一個接口開始:
c及e是在四邊接口中有一條是分開的,而其結果分別為d及f。
c在展開時,底部的一個正方形可以連着任何一個邊,故有d的四個組合可能;
e在展開時,若底部的邊連着有接口(有紅線)的正方形,則會等同d的第2或第3個可能,故只能再多加2個組合可能。
在此,以四個連續並排的正方形為主做的6個可能已經全被列出,下面的分析中會除去有四個連續正方形的展開方式的可能。

g,j,n為分開四邊接口中的兩邊,而其右邊為其展開的方式及可能:
g: 把切口打開得出 h,由於不會重覆四個連續正方形的展開,故有底部的紅線。
剩下的可能就是從藍線中二擇其一保留,由於左右對稱的關係,不論切哪一邊也會得出 i 來的。
j: 同樣地,切開變成k ,保留其中一條藍線的變成 l 及 m 。留意的是k的底部有一黑實線...這是小弟忘了把它也弄成藍線...所以其實是把底部3擇其一地保留一個藍線接口...而若底部的黑線是保留了的話,也是得出m來的...(這個...一個小過失...當成是功課想想吧...:P:P)
n: 由於不會有四個連續正方形的展開,紅點的兩條線必有其一是需切開的;而要留意的是,這埵釣漜梒鬚u,每組也只會切一條,否則平面便會被分成兩半...
故得出o,p,q的組合...而其實,o=m...
到此,11個不同的組合其實已經全部走了出來...剩下的只是把剩下的組合的可能性也貼出來...

r為剩下的四邊接口切二邊的方法,而u,w則為在四邊切三邊。r得出s,t(皆=q);u得出v=q;w得出x=m
最後由於把四邊接口皆切掉會得出十字架的平面=>四個連續的正方形...故圖婺鼮L了....

圖解共得11種平面...


2. 這個是比較推理的方法(有了上面的圖,這個快捷的理論方法就比較易想像):

首先,正立方體的展開平面最長的一行是連續四個正方形並排連着。若一個平面由五個或以上正方形並排連成,則此圖一定不是正立方體的非重疊展開平面圖...
而若四個正方形並排連着橫放,剩下的兩個正方形必為一上一下。(想像為上面圖中的c或e吧...)故扣去左右對稱的可能,剩下(3*4)/2=6個可能性(即為d,f)。

再來是三個正方形打橫並排連着,扣去上下、旋轉對稱及四個正方形並排連着的情況,有兩種方法排列:
(1)上/下方有三個正方形,及(2)上二下一/上一下二...
(1)由於三個連續並排的正方形摺起來就是一個凹形,故若要另外三個正方形也是連起來的,就只有另外一個凹形...即為三個連續並排的正方形,故推論出只有 i 的情況。(若另外的三個正方形與中間的正方形連著,便會變成四個連續並排的正方形...故不在考慮)
得出一個可能性。
(2)上二下一/上一下二:關於二個正方形的那邊,可參考 x 的情況,若是連着三個並排正方形的中間一個,便即為橫放了的 x ,故亦等同連着盡頭的一個,與三個連續的正方形並排。故剩下下方的正方形有三個可能性:x,q 及左轉90o橫放的 l (三個連續的正方形的任一下方)。
得出三個可能性。

最後就是只有連續兩個正方形的可能性(沒有一個的...要一個就是六個分開的正方形...組不成一塊...)。要令所有正方形連成一塊,又只能有最多兩個正方形連續並排連着,只有Z形地排才可以。故得出唯一的 p

總結有 6 + (1+3) +1 = 11個可能性。
☆子 是也

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[問題]我沒問題

tangpakchiu 於 星期五 四月 06, 2007 5:31 pm


tnahk you very much...
G@ry真是十分厲害!!!!!!!!!
十分棒的文章!!!!

tangpakchiu
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