[數學]數學題..(95)

[數學]數學題..(95)

☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期六 二月 10, 2007 5:27 pm


1.
設a,b,c,d>1
證明
8(abcd+1)>(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)

2.
設a,b,c>0
證明:c/(a+b)+b/(a+c)+a/(b+c)≧3/2

☆ ~ 幻 星 ~ ☆
教 授
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文章: 1068
註冊時間: 2005-08-24

宇智波鼬 於 星期六 二月 10, 2007 9:27 pm


1.
Since a, b, c, d>1, ab+1>a+b, cd+1>c+d
2ab+2>ab+ab+1, 2cd+2>cd+c+d+1
(ab+a+b+1)(cd+c+d+1)<(2ab+2)(2cd+2)<8abcd+8
so, (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)<8(abcd+1)

2.
Assume that a>=b>=c, then 1/(b+c)>=1/(a+c)>=1/(a+b)
Accroding to the rearrangement inequality,
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=a/(a+c)+b/(a+b)+c/(b+c)
and a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=a/(a+b)+b/(b+c)+c/(a+c)
Add the two inequalities above, we get
2[a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)]>=1+1+1=3
=> c/(a+b)+b/(a+c)+a/(b+c)≧3/2
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
文章: 1108
註冊時間: 2005-06-05
來自: 秘密組織~曉






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