[問題]幾何題52

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tangpakchiu 於 星期一 一月 22, 2007 9:38 pm


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tangpakchiu
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[數學]座標化....

等待著的深藍 於 星期二 一月 23, 2007 12:20 am


設B(0,0),C(0,2),D(0,2),A(1,h)
依題意,BM2=(1/2)2+[(2+h)/2]2=12,DM2=(3/2)2+[(2+h)/2]2
Then   BM2-DM2=1/4-9/4⇒DM2=12+9/4-1/4=3⇒DM=√3
經驗的累積,智慧的結晶

等待著的深藍
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宇智波鼬 於 星期二 一月 23, 2007 5:00 pm


這題我亦是用解析幾何方式,具體方法與等待著的深藍大大差不多.

不過我想問,是否有平面幾何的作法?
因為只要能證明角BMD=90度答案就呼之欲出了.
(不過我也還沒想到這樣的解法.)
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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等待著的深藍 於 星期二 一月 23, 2007 8:20 pm


我覺得90度應該是巧合
我提供一個平面幾何之做法:
延長CB並且作一過A平行BD之直線且交BC之延長線於E
作一過M而平行BD之直線且交BC之延長線於F
此時可以發現FM=1/2(三角形CEA和三角形CFM相似)
由畢氏定理:BM^2=FM^2+BF^2得到BF=(3^0.5)/2
設M在BD上之投影點為N
則BF=MN=(3^2)/2,ND=2-1/2=3/2,所以DM=3^(1/2)
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宇智波鼬 於 星期二 一月 23, 2007 9:27 pm


若DM=根號3 則角BMD必為90度喔. (1:2:根號3)

還有,你說明FM=1/2時就等於說明角MBD=60度了.
接著便可一步推出DM=根號3.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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等待著的深藍 於 星期二 一月 23, 2007 9:38 pm


鼬大大你說的並沒有錯,後半部可以用餘弦定理解出DM
只不過應該是沒有先知道"直角"再推出"DM=根號3"的方法
經驗的累積,智慧的結晶

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宇智波鼬 於 星期二 一月 23, 2007 10:16 pm


不需要用到餘弦那麼深啦...
用相似即可,若有一三角形一角為60度,夾此角之二邊為1:2
則此三角形為30 60 90的直角三角形.(SAS相似)
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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亞斯 於 星期三 一月 24, 2007 10:48 am


延長BM到E使得BM=ME
CBAE就是平行四邊形
AE就會垂直BD
AB=AD
延長AE就會通過BD的中點N
BM=BN=1
BD=BE=2
因此三角形BMD和三角形BNE全等
MD=EN=根號3
名豈文章著
官應老病休
飄飄何所似
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亞斯
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☆ ~ 幻 星 ~ ☆ 於 星期四 一月 25, 2007 5:43 pm


因為AB=AD
所以A必在BD中垂線上
設BD中垂線交BD於K
又M為AC中點
故M必在KB中垂線上
設KB中垂線交KB於X
BM=1=2BX且MX垂直BX
得角MBD=60度
BD=2BM且角MBD=60度
得DM=根號3

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