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等待著的深藍 · 由 **等待著的深藍** 於星期一十二月 25, 2006 6:24 pm

1.若P,P+10,P+14皆為質數,請找出所有的P

2.若p,q皆為質數,且q=p+2,證明p^q+q^p能被p+q所整除

PS.我不知道上次第三題沒有證明方法,不過這兩題都能證明

宇智波鼬 · 由 **宇智波鼬** 於星期一十二月 25, 2006 7:46 pm

設p=3k 3k+1 3k+2
p=3k時 p=3k p+10=3k+10 p+14=3k+14
3k中只有3是質數. so p=3 p+10=13 p+14=17
p=3k+1時 p=3k+1 p+10=3k+11 p+14=3k+15=3(k+5)
p+14不為質數故不合.
p=3k+2時 p=3k+2 p+10=3k+12=3(k+4) p+14=3k+16
p+10不為質數故不合.

宇智波鼬 · 由 **宇智波鼬** 於星期一十二月 25, 2006 8:15 pm

p^q+q^p=p^(p+2)+(p+2)^p
=p^p+(p+2)^p+(p^2-1)*p^p
=(p+p+2)k+(p^2-1)*p^p
因為p為質數且p不等於2,所以p為一奇質數.
則p+q=p+p+2=2(p+1)會整除(p+1)(p-1)*p^p.
即,p+p+2會整除p^p+(p+2)^p+(p^2-1)*p^p.
原命題得證.

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[數學]兩題質數問題

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