[數學]數論題.

[數學]數論題.

skywalker 於 星期六 十二月 23, 2006 1:39 pm


n為實數,已知5n/(3n+4n)是整數,試求n值

skywalker
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宇智波鼬 於 星期六 十二月 23, 2006 3:42 pm


在此只討論n為整數的情況...

擴分得(分母 分子同*5^n)


(3^2+4^2)^n當然被5^整除.
若(3^2+4^2)^n被(3^n+4^n)整除
則3^2+4^2必須被(3^n+4^n)整除...
即n只能=2.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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skywalker 於 星期日 十二月 24, 2006 8:43 am


(i)n為正整數
5^n的因數必為5^k型,若(3^n+4^n)|5^n
則存在正整數m,使得3^n+4^n=5^m
方程式兩邊對3同餘,得0+1=2^m,所以m為偶數
方程式兩邊對4同餘,得(-1)^n+0=1,所以n為偶數
假設m=2a,n=2b,則有(3^b)^2+(4^b)^2=(5^a)^2
則3^b,4^b,5^a是一組畢氏數
必存在一奇一偶的h,k,且(h,k)=1
使得3^b=h^2-k^2...(1),4^b=2hk...(2)
由(2)得2^(2b-1)=hk
因為h,k為一奇一偶且(h,k)=1,所以k=1,h=2^(2b-1)
代入(1)中得3^b=4^(2b-1)-1
=> 3^b+1=4^(2b-1)
若b≧2,上式右邊為8的倍數,上式左邊用8除餘數為2或4
所以只能b=1,即n=2

(ii)若n為負整數
設n=-m,m為正整數
(5^n)/(3^n+4^n)
=(1/5)^m/[(1/3)^m+(1/4)^m]
=12^m/(15^m+20^m)為一正真分數,不為整數

 
以上是轉貼自昌爸的galaxy的證法

skywalker
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skywalker 於 星期日 十二月 24, 2006 8:46 am


令Ai=4i+3i
A(i+4)=256*4i+81*3i≡6Ai(mod25)
A1,A3,A4≠0(mod25),A2≡0(mod25),故僅A(2),A(6),..A(4i+2)≡0(mod25)
令2i+1=m,故可令(3m)^2+(4m)^2=(5p)^2

以下借galaxy作法:
3m=hh-kk,4m=2hk,h,k一奇一偶,(h,k)=1
由4m=2hk,得h=4m/2,k=1
當m>1時,3m=hh-kk=(4m/2)^2-1
=42m-1-1>3m,故m=1為唯一上解,即n=2為唯一解

 
以上是轉貼自昌爸yani的證法

skywalker
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