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一正方形ABCD中
N在CD上
M在BC上
角NAM=45度
證明

連接A,C. 作NP⊥AC於P, MO⊥AC於O.
∵∠NAM=45°=∠CAB ∴∠NAP=∠MAB.
同理可得∠MAO=∠NAD. 易證直角△MAO相似於直角△NAD,直角△NAP相似於直角△MAB.
CN=CD-ND=AD-ND, NP=√2(AD-ND)/2
CM=CB-BM=AB-BM, MO=√2(AB-BM)/2
所以NP^2=(AD-ND)^2/2, MO^2=(AB-BM)^2/2.
可推得AP^2=(AD+ND)^2/2, AO^2=(AB+BM)^2/2
=> AP=(AD+ND)/√2, AO=(AB+BM)/√2
AN/AM=AP/AB=(AD+ND)/√2AB
AM/AN=AO/AD=(AB+BM)/√2AD
而AB=AD.
所以AN/AM*AN/AM=(AD+ND)/√2AB*√2AD/(AB+BM)=(AD+ND)/(AB+BM).
=>AN/AM=√(AD+ND)/√(AB+BM)
  
PS.有新圖耶...TRY!