誰來挑戰看看呢？我想了好久只會三四題，還有些題目看不懂的－ －
可以英文回答
[數學]2006年法國高等學院預備班 正式考題 & 考古題
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由 亞斯 於 星期三 十一月 08, 2006 4:12 pm
5.
if some one of a,b,c is greater then 1
it is trivial
then consider a,b,c all less then 1
since a+b+c+(1-a)+(1-b)+(1-c)=3
(3/6)^6≥a(1-b)b(1-c)c(1-a)
i.e. a(1-b)b(1-c)c(1-a)≤1/64
so at least one of a(1-b),b(1-c),c(1-a) is lower or equal then 1/4
6.
let the vertices are (0,0),(a,b),(c,d) where a,b,c,d are integral numbers
(c+di)/(a+bi)=(1+i√3)/2 or (1-i√3)/2
c=(a-b√3)/2,d=(b+a√3)/2
it is possible only at a=b=c=d=0
名豈文章著
官應老病休
飄飄何所似
essential isolated singularity
官應老病休
飄飄何所似
essential isolated singularity
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亞斯 - 實習生
- 文章: 92
- 註冊時間: 2006-11-05
- 來自: Neverland
由 亞斯 於 星期四 十一月 09, 2006 9:46 am
抱歉!英文不好
還是用中文寫吧!
2006.7
先證f是1-1
若取相異兩點A,B而它們有相同的像f(A)=f(B)
再選取C,D使得p(A,C,D)≠p(B,C,D)
但是顯然p(f(A),f(C),f(D))=p(f(B),f(C),f(D))得到矛盾
故f是1-1
接下來我有兩種寫法,我都寫出來聽聽打大家的意見
<法一>
a) claim f(A)f(B)≤AB
若 f(A)f(B)>AB
在線段AB上選一點C
AB+BC+AC=f(A)f(B)+f(B)f(C)+f(A)f(C)
f(B)f(C)+f(A)f(C)<BC+AC=AB<f(A)f(B)
這與三角不等式矛盾
b) claim f(A)f(B)≥AB
既然f是1-1
f就有反函數f-1且與f有相同的性質
故仿a可得證
於是f(A)f(B)=AB
f是保距變換
<法二>
若f(A)f(B)≠AB
對於線段AB之間的點C
f(C)就不會在線段f(A)f(B)上
而在以f(A),f(B)為焦點的橢圓上
於是任取C,D在線段AB上
對於線段CD上的點會在以f(C),f(D)為焦點的橢圓上
但兩個橢圓最多只有四個交點
而CD之間有無限多個點
f又是1-1
這不可能
故f(A)f(B)=AB
f是保距變換
*************************************
之前兩題也是2006的
1.2.3.4比較簡單就不寫過程了
(1) 1/2 (2) (2,2,2,3) (3) 型如k2,k2+k,k2+2k (4) 1/216
至於8.9還沒想出來
唉
考這麼難
分明是要挖優秀的人才嗎!
今年我們學校還鼓勵大家報名
去接受挫折嗎?
名豈文章著
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飄飄何所似
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