[數學]速算法

[數學]速算法

J+W 於 星期四 十月 05, 2006 9:24 am


速算 - 一位數乘多位數

 

1.乘2:需乘之位後面的數字如果等於或超過5則進1。

例:25×2。先考慮2,2×2=4,而2後面的數字是5,所以需要進1,得到十位為5。再考慮5,5×2=10,個位為0,因5後再沒有任何數字,所以不用進位,由此得到個位為0。所以25×2=50。

2.乘3:需乘之位後面的數字如果超過3333...則進1,如果超過6666...則進2。

例:147×3。先考慮1,1×3=3,而1後面的數字是4,所以需要進1,得到百位為4。再考慮4,4×3=12,個位為2,4後面的數字為7,所以要進2,得到十位為4。最後考慮7,7×3=21,個位為1,因7後再沒有任何數字,所以不用進位,由此得到個位為1。所以147×3=441。

3.乘4:需乘之位後面的數字如果超過25則進1,超過5則進2,超過75則進3。

例:369×4。先考慮3,3×4=12,個位為2,後面的數字為69,所以需要進2,得到千位和百位為分別為1和4。再考慮6,6×4=24,個位為4,因為6後面的數字為9,所以要進3,得到十位為7。最後考慮9,9×4=36,個位為6,因9後再沒有任何數字,所以不用進位,由此得到個位為6。所以369×4=1476。

4.乘5:需乘之位後面的數字如果超過2則進1,超過4則進2,超過6則進3,超過8則進4。

例:25×5。先考慮2,2×5=10,而2後面的數字是5,所以要進2,得到百位和十位分別是1和2。再考慮5,5×5=25,個位為5,因5後再沒有任何數字,所以不用進位,由此得到個位為0。所以25×5=125。

5.乘6:需乘之位後面的數字如果超過166...則進1,超過333...則進2,5則進3,666...則進4,833...則進5。

例:24×6。先考慮2,2×6=12,而2後面的數字是4,所以要進2,得到百位和十位分別是1和4。再考慮4,4×6=24,個位為4,因4後再沒有任何數字,所以不用進位,由此得到個位為4。所以24×6=144

6.乘7:需乘之位後面的數字如果超過142857142857...則進1,超過285714285714...則進2,超過428571428571...則進3,超過571428571428...則進4,超過714285714285...則進5,超過857142857142...則進6。

例:39×7。先考慮3,3×7=21,而3後面的數字是9,所以要進6,得到百位和十位分別是2和7。再考慮8,9×7=63,個位為3,因9後再沒有任何數字,所以不用進位,由此得到個位為3。所以39×7=276。

7.乘8:需乘之位後面的數字如果超過125則進1,超過25則進2,超過375則進3,超過5則進4,超過625則進5,超過75則進6,超過875則進7。

例:48×8。先考慮4,4×8=32,而4後面的數字是8,所以要進6,得到百位和十位分別是3和8。再考慮8,8×8=64,個位為4,因8後再沒有任何數字,所以不用進位,由此得到個位為4。所以48×8=384。

8.乘9:需乘之位後面的數字如果超過11...則進1,超過22...則進2,超過33...則進3,超過44...則進4,超過55...則進5,超過66...則進6,超過77...則進7,超過88...則進8。

例:56×9。先考慮5,5×9=45,而4後面的數字是6,所以要進5,得到百位和十位分別是5和0。再考慮6,6×9=54,個位為4,因6後再沒有任何數字,所以不用進位,由此得到個位為4。所以56×9=504。

 

註:

1.在本文中介紹的是史丰收速算法,據說已成為大陸小學教材的一部份。

2.本方法的特點是由高位算起,所以任何數字乘出來時只需要用個位。(除了首位外)

3.這裡不便大篇幅介紹史丰收速算法,但對上一點有一些補充:其實在史丰收速算法中,被乘數前要加一個0,那麼就不會出現「除了首位外」這些問題了。

4.聰明的讀者應該可以看出其中的原理了,其實這與循環小數有一定關係。讀者們應該會留意到,1/2=0.5, 1/3=0.33..., 2/3=0.66...等。但這與乘法有甚麼關係呢?一個數乘2之時,如果該數超過5,則該數必定超過10。如6比5大,以後12也比10大。這是就是進位的原理了。

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J+W 於 星期四 十月 05, 2006 9:42 am


速算 - 開方估算法(兩位數)
http://hk.geocities.com/ctct789/a/math_fast_do.html
七.一數相同一數非互補的乘法
    兩位數相乘,一數的和非互補,另一數相同,方法是:頭加1,頭乘頭,尾乘尾,將兩積連接起來後,再看被乘數橫加之和比10大幾就加幾個乘數首。比10小幾就減幾個乘數首,加減位置:一位數十位加減,兩位數百位加減,如65×77=5005,計算程式是(6+1)×7=49,5×7=35,相連爲4935,6+5=11,比10大1,加一個7,一位數十位加。4935+70=5005
        八.兩頭非互補兩尾相同的乘法
    兩個頭非互補,兩個尾相同,其計算方法是:頭乘頭加尾數,尾自乘。兩積連接起來後,再看兩個頭的和比10大幾或小幾,比10大幾就加幾個尾數,小幾就減幾個尾數,加減位置:一位數十位加減,兩位數百位加減。如67×87=5829,計算程式是:6×8+7=55,7×7=49,相連爲5549,6+8=14,比10大4,就加四個7,4×7=28,兩位數百位加,5549+280=5829
        九.任意兩位數頭加1乘法
    任意兩個十位數相乘,都可按頭加1方法計算:頭加1後,頭乘頭,尾乘尾,將兩個積連接起來後,有兩比,這兩比是非常關鍵的,必須牢記。第一是比首,就是被乘數首比乘數首小幾或大幾,大幾就加幾個乘數尾,小幾就減幾個乘數尾。第二是比兩個尾數的和比10大幾或小幾,大幾就加幾個乘數首,小幾就減幾個乘數首。加減位置是:一位數十位加減,兩位數百位加減。如:35×28=980,計算程式是:(3+1)×2=8,5×8=40,相連爲840,這不是應求的 積數,還有兩比,一是比首,3比2大1,就要加一個乘數尾,加8,二是比尾,5+8=13,13比10大3,就加3個乘數首,3×2=6,8+6=14,兩位數百位加,840+140=980。再如:28×35=980, 計算程式是:(2+1)×3=9,8×5=40,相連位940,一是比首,2比3小1,減一個乘數尾,減5,二是比尾,8+5=13,比10大3,加三個3,3×3=9,9-5=4,一位數十位加,940+40=980。
        十.首位都是5的乘法
    兩個十位數相乘,首位都是5時,先求出5的平方,再求出尾數和的一半,加平方數,爲前積,然後求兩個尾數的積,爲後積,連接起來就應求的得數。如58×54=3132,其計算程式是:5×5=25,8+4=12,12的半數6,25+6=31,再加8×4=32。兩積相連爲3132。58×54就得3132。
        十一.尾數都是5的乘法
    兩個十位數相乘,尾數都是5的乘法,先求出首位數的積,再加上首和的一半爲前積,再加尾5的平方,就是應求的數。如:65×85=5525,計算程式是:6×8=48,6+8=14,半數爲7,48+7=55,5×5=25,連接起來,就得5525。
        十二.減平方差的乘法
    兩個首位數差1,尾爲互補的乘法,其計算方法是:大1的首位數平方減去尾數的平方,就是得數。如:42×38=1596。其計算程式是:首先4比3大1,尾數又是互補,那就減平方差,40的平方減2的平方,1600-4=1596。

    十三.多位數減平方差的乘法
    根據減平方差的計算原理,可以引深一步,凡是首位大1,後邊的數位爲互補的數碼,都可以按減平方差公式計算。如:406×394=159964。計算程式是:400的平方減6的平方,160000-36=159964。
        十四.一數和爲9,另一數爲連接數的乘法
    凡是一個兩位數的和爲9,另一數爲連接數,其計算方法是,頭加1後,頭乘頭爲前積,尾補乘尾補爲後積,中間不管有多少位數,不用計算,都是頭加1那個數。比如:72×4567=328824,計算程式是:7加1爲8,8乘4等於32,爲前積,兩個尾補的積是:8×3=24,爲後積,中間兩位數是56,不用計算,這兩位都是頭加1的數,都是8,72×4567就得328824。
        十五.首同是9的乘法
    兩個十位數相乘,首位都是9時,其計算方法是:將一數的補數從另一數中減掉,爲前積,然後加上兩個尾補的積爲後積,連接起來,就爲得數。如:97×94=9118,計算程式是:97-6等於91,爲前積,兩個尾補的積是3×6=18,91和18相連就得9118。
        十六.9的倍數乘法
    9的倍數是指18 27 36 45 54 63 72 81 198 297等等,都是9的倍數,都可以用一位數計算。如18=20-2,297=300-3,3996=4000-4等等,用一位去乘任何數,得出積來錯位相減即可得到乘積。如:27×35=945,(27=30-3) 30×35=1050,1050-105=945。

速算与巧算
http://www.aiqiqi.net/view.asp?id=15414
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