[問題]高中問題

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skywalker 於 星期六 九月 30, 2006 11:20 pm


 三角形ABC中,A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)  ,一點P使PA^2+PB^2+PC^2為最小,求P點座標
 
我是先令P(x,y)
 
   PA^2+PB^2+PC^2
=(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-x)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2+3x^2+3y^2-2(x1*x)-2(x2*x)-2(x3*x)-2(y1*y)^2-2(y2*y)-2(y3*y)
 
到這邊我救沒辦法配方把答案配出來,是我過程有錯嗎?還是一開始做法就錯了?
我知道座標是((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3),這個點是重心

skywalker
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宇智波鼬 於 星期日 十月 01, 2006 10:12 am


x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2+3x^2+3y^2-2(x1*x)-2(x2*x)-2(x3*x)-2(y1*y)^2-2(y2*y)-2(y3*y)
把這個式子拆成兩個式子:
3x^2-2(x1+x2+x3)+x1^2+x2^2+x3^2...(1)

3y^2-2(y1+y2+y3)+y1^2+y2^2+y3^2...(2)
將兩式分別視為x和y的二次函數. 兩個二次函數的最小值相加就是原式的最小值.
(1)式中當x=2(x1+x2+x3)/6=(x1+x2+x3)/3 有最小值.
(2)式中當y=2(y1+y2+y3)/6=(y1+y2+y3)/3 有最小值.

所以P(x,y)=((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3) 此點亦為三角形之重心座標.
  追求神乎其技,至高無上的數學境界!~  

宇智波鼬

 
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解析幾何及三角函數